А́белев дифференциа́л — голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности .

Пусть — род поверхности — циклы канонического базиса гомологий . В зависимости от характера особенностей различают Абелев дифференциал трёх родов: I, II и III, причём имеют место строгие включения: .

Абелев дифференциал I рода

Абелев дифференциал I рода — это голоморфные всюду на дифференциалы 1-го порядка, которые в окрестности каждой точки имеют вид , где — локальная униформизирующая переменная в , , а — голоморфная, или регулярная, аналитическая функция от в . Сложение абелева дифференциала и умножение на голоморфную функцию определяется естественными правилами: если

то

Абелев дифференциал I рода образуют векторное пространство размерности . После введения скалярного произведения

где — внешнее произведение на звёздно сопряжённый дифференциал , пространство превращается в гильбертово пространство.

Пусть суть - и -периоды абелева дифференциала I рода , то есть интегралы

Тогда имеет место соотношение:

Если — периоды другого абелева дифференциала I рода , то

Соотношения (1) и (2) называются билинейными соотношениями Римана для абелевых дифференциалов I рода. Канонический базис абелева дифференциала I рода, то есть канонический базис пространства , выбирается таким образом, что

где и при . При этом матрица -периодов

симметрическая, а матрица мнимых частей положительно определённая. Абелев дифференциал первого рода, у которого все -периоды или все -периоды равны нулю, тождественно равен нулю. Если все периоды абелева дифференциала I рода действенны, то .

Литература

• Неванлинна, Р. Униформизация / Р. Неванлинна ; пер. с нем. — М. : Иноиздат, 1955. — 435 с.
• Спрингер, Дж. Введение в теорию римановых поверхностей / Дж. Спрингер ; пер. с англ. Л. А. Маркушевич и Г. Ц. Тумаркина. — М. : Иноиздат, 1960. — 343 с.
• Чеботарёв, Н. Г. Теория алгебраических функций / Н. Г. Чеботарёв. — М. ; Л. : Гостехлитиздат, 1948. — 397 с.