Диагональная матрица

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Содержание

1 Определение
2 Обозначение
3 Свойства
4 Примеры
5 Замечание
6 Литература
7 См. также

Определение

Квадратная матрица , где для всяких , называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица имеет вид:

$D=\begin{bmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_{22} & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & d_{nn} \end{bmatrix},$

Такая матрица является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной.

Обозначение

Диагональная матрица c элементами , стоящими на главной диагонали обозначается следующим образом:

Свойства

Диагональная матрица является симметричной:

Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.
Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:

Обратная матрица для диагональной матрицы равна:

$D^{-1}=\begin{bmatrix} d_{11}^{-1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_{22}^{-1} & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & d_{nn}^{-1} \end{bmatrix},$

Примеры

Нулевая матрица

$~0=\mathrm{diag}\,\{0,0,\dots,0\}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 0 \end{bmatrix},$

и единичная матрица

$E=\mathrm{diag}\,\{1,1,\dots,1\}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 1 \end{bmatrix},$

доставляют простейшие примеры диагональных матриц.

Замечание

Не любая матрица может быть приведена к диагональному виду. Достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы. В общем случае матрица приводима к жордановой форме.

Литература

См. список литературы по линейной алгебре

См. также

Единичная матрица

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Lt304888.ru

Туристические услуги

Рекомендуем