Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства p-векторов в пространство n-p-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами p-форм и p-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n-q.

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

Определение

Вспомогательные определения

Определим форму объёма

где  — неотрицательный скаляр на многообразии , а  — полностью антисимметричный символ. . Даже в отсутствие метрики, если , можно определить контравариантые компоненты формы объёма.

здесь антисимметричный символ совпадает .

В присутствии метрики с поднятыми индексами может отличаться от на знак: . Здесь и далее

Введём операцию антисимметризации:

. Суммирование ведётся по всем перестановкам индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности . Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: ; .

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

.

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки только по упорядоченным наборам не деля на , это связано с тем, что разные наборы индексов , отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды Ходжа

Используя форму объёма и поливектор можно ввести операцию , превращающую поливектор степени в дифференциальную форму степени , и обратную операцию , превращающую форму степени в поливектор степени

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

Поскольку и , то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов и введём пару операторов: и , отличающихся от них знаком.

Звезда Ходжа в присутствии метрики

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика . Обозначим .

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой называется форма В компонентах:

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

Поэтому мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами.

Дополнительные операторы

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

В присутствие метрики оператор дивергенции выражается через оператор ковариантной производной , определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

Иногда операцию (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию  — дивергенцией. Для 1-формы операция задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)

Лапласиан от -формы определяется формулой:

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа-Бельтрами:

Для скаляра . Если , то для произвольной метрики в появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае

где  — тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

Свойства звёздочки Ходжа

Источники

• Лекции М. Г. Иванова по курсу «Геометрические методы в классической теории поля». http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html