Комплексная амплитуда

Компле́ксная амплитуда — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе гармонического сигнала.

Содержание

1 Определение
2 Физический смысл
- 2.1 Алгебраическая форма
- 2.2 Тригонометрическая форма
3 Операции над комплексной амплитудой
4 Ограничения
5 Применение
6 См. также

Определение

Пусть, имеется гармонический сигнал:

$a(t) = A \cos {(\omega t + \phi)}$

((1))

Над сигналами, записанными в подобной форме, тяжело производить такие арифметические операции, как сложение двух сигналов, вычитание из одного сигнала другого сигнала, умножение сигнала на константу. С целью облегчения этих операций гармонические сигналы представляют в виде комплексного числа, модуль которого равен амплитуде сигнала, а угол - фазе сигнала. При этом оригинальный сигнал равен действительной части данного комплексного числа:

$\hat a(t)\; = A e^{i(\omega t + \phi)} = A e^{i\phi} e^{i \omega t} = \hat A\; e^{i \omega t}$

( )

здесь комплексной амплитудой гармонического сигнала является следующее выражение:

$\hat A\; = A e^{i\phi}$

( )

Физический смысл

Алгебраическая форма

Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует амплитуде косинусной (синфазной) компоненты, а мнимая — амплитуде синусной (квадратурной) компоненты исходного сигнала. Так, для сигнала (1) имеем:

$a(t) = \Re(\hat A\;) \cos {(\omega t)} - \Im(\hat A\;) \sin {(\omega t)}$

( )

где

$\Re(\hat A\;) = A\cos {(\phi)}, \quad \Im(\hat A\;) = A\sin {(\phi)}$

( )

Тригонометрическая форма

Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует амплитуде исходного гармонического сигнала, а аргумент — сдвигу фазы исходного гармонического сигнала относительно сигнала .

Операции над комплексной амплитудой

К сигналам в пространстве комплексных амплитуд могут быть применены линейные операции. Другими словами, перечисленные ниже операции над комплексными амплитудами:

умножение комплексной амплитуды на константу
сложение комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
вычитание комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
интегрирование комплексной амплитуды по времени
дифференцирование комплексной амплитуды по времени

приводят к такому же результату, как если бы они были проделаны над соответствующими гармоническими сигналами, а затем от них взята комплексная амплитуда.

Ограничения

Несмотря на то, что в выражение для комплексной амплитуды не входит частота ω гармонического сигнала, следует помнить, что комплексная амплитуда описывает гармонический сигнал конкретной частоты. Поэтому в пространстве комплексных амплитуд недопустимы операции, которые:

принимают в качестве операндов комплексные амплитуды, описывающие гармонические сигналы разных частот.
меняют частоту гармонического сигнала или порождают новые частоты (все нелинейные операции, например, перемножение двух сигналов).

Применение

Комплексная амплитуда является полным и очень удобным способом описания гармонических сигналов, поскольку:

Характеризует и амплитуду, и фазу
Не содержит зависимости от времени
Позволяет использовать векторные диаграммы для анализа цепей на переменном токе

Использование комплексной амплитуды и импедансов позволяет свести задачу прохождения гармонического сигнала через линейную цепь (описывается системой дифференциальных уравнений) к более простой задаче, эквивалентной анализу цепи из резисторов на постоянном токе (описывается системой алгебраических уравнений).

См. также

Метод комплексных амплитуд

Lt304888.ru

Туристические услуги

Рекомендуем