Взаимно однозначное отображение области D на область D^* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Связанные определения

• Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
• Две метрики на гладком многообразии называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция такая что . В этом случае тождественное отображение на индуцирует конформное отображение .

Свойства

• Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
• Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
  • Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
• Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства при можно представить в виде конечного числа суперпозиций — изометрий и инверсий.
• Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если и  — конформноэквивалентные метрические тензоры, то
      
  где и обозначают тензоры Вейля для и соответственно.
• Для конформно-эквивалентых метрик
  • Связности связаны следующей формулой:
       
  • Кривизны связаны следующей формулой:
        
        
    если а обозначает Гессиан функции .
  • Формулу для секционных кривизн можно записать в следующем виде:
        
    где .
  • При вычислении скалярной кривизны -мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде . В этом случае:

Примеры

• Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя;
• Инверсия — конформное отображение второго рода;
• Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;
• Стереографическая проекция.

История

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин.

Применение

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике, механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

Литература

• Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
• Иванов В. И. Конформные отображения и их приложения (краткий исторический очерк). // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 255-266..
• Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. Перевод с английского М. Келдыша
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

См. также

• Условия Коши — Римана
• Теорема Римана об отображении
• Теорема Шварца — Кристоффеля
• Диффеоморфизм

Ссылки

• Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.