Ку́бика — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, то есть множество точек плоскости (проективной, аффинной, евклидовой), однородные координаты которых (относительно соответственно проективной, аффинной или декартовой системы координат) удовлетворяют уравнению третьей степени.

Классификация

Первая классификация кубик была дана Ньютоном в 1704 году^[1].

Ньютон доказал, что для любой кубики можно подобрать систему координат, в которой она будет иметь один из следующих видов:

Далее Ньютон поделил все кривые на классы, роды и типы, пропустив при этом однако 6 типов. Полную классификацию дал Плюккер^[2].

По состоянию на 2008 год, аналогичной классификации для кривых n-го порядка не найдено, эта задача составляет 16-ю проблему Гильберта.

Свойства

• Теорема Шаля. Даны 2 кубики и , имеющие 9 общих точек. Если третья кубика С проходит через 8 из них, то она проходит и через девятую.
• На кубике взяли точку , и провели из неё 2 касательных к кубике — одна касается кубики в точке , другая — в точке . Пусть площади сегментов, отсекаемых этими касательными от графика кубики, равны и . Тогда ^[3].
• Известно, что некоторые кубики являются трисектрисами, то есть если на плоскости нарисован график такой кубики, и дан угол, то его можно разделить циркулем и линейкой на 3 равные части. Открытая проблема: любая ли кубика является трисектрисой?
• Максимально возможное число компонент связности у графика кубики в есть 4. Например: у (график состоит из трёх удаляющихся на бесконечность кривых и одной изолированной точки).
• Если прямая проходит через две точки перегиба кубики, то она проходит и через третью.
• На кубиках можно ввести сложение точек и умножение их на число, получив тем самым алгебраическую структуру, называемую эллиптической кривой^[4][5].
• Прямая пересекает кубику в точках . Касательные, восстановленные к кубике в точках , пересекают второй раз кубику в точках . Тогда точки также лежат на одной прямой^[6][7].

Применения

• Кубические кривые применяются в языке PostScript, включая шрифты формата Type 1 (в TrueType используются только квадратичные кривые).
• Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики (не имеющей никакого прикладного применения и перспективы такового). Однако, в последние 20 лет XX века были придуманы криптографические алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются (в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик, см. Эллиптическая криптография.
• Большое число замечательных точек треугольника складываются в несколько кубик^[8].
• Морлей доказал известную теорему Морлея, изучая свойства кубик^[9].

См. также

• Эллиптическая кривая

Примечания