Модулярная функция — голоморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть множества ), является инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяет условия голоморфности в параболических точках. Модулярные формы и модулярные функции широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

Примеры

• Одними из самых простых примеров модулярных функций являются ряды Эйзенштейна:

где .

• Пусть

 — модулярные инварианты,  — модулярный дискриминант.

Определим также:

 — основной модулярный инвариант (j-инвариант).

Выполняются равенства:

Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. То есть  — модулярная форма веса 4,  — модулярная форма веса 12. Соответственно  — модулярная форма веса 12, а  — модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и элиптических кривых.

Литература

• Сарнак П. Модулярные формы и их приложения. — М.: ФАЗИС, 1998. — ISBN 5-70364029-4
• Tom M. Apostol Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York: Springer-Verlag, 1990. — ISBN 0-387-97127-0
• Robert A. Rankin Modular forms and functions. — Cambridge: Cambridge University Press, 1977. — ISBN 0-521-21212-X

Ссылки

• J. S. Milne, Modular functions and modular forms, курс лекций.