Представляет собой оператор эллиптической сингулярной краевой задачи. Математическая теория операторов Шрёдингера используется в квантовой механике[1], дифференциальной геометрии (доказательство теоремы Гаусса — Бонне[2]), топологии (в теории Морса при доказательстве неравенства Морса[3]). Допускает многочисленные обобщения[4]. При некоторых условиях на потенциалы и является самосопряжённым оператором со всюду плотной областью определения в пространстве квадратично интегрируемых функций [5][6]. Это свойство равносильно однозначной разрешимости нестационарного уравнения Шрёдингера[6]. Оно очень важно для оснований квантовой механики, поскольку лишь самосопряжённые операторы описывают квантовомеханические наблюдаемые. В квантовой механике оператор Шрёдингера представляет собой операторэнергии системы заряженных частиц в координатном представлении. При приближённом описании поведения частицы во внешнем поле или системы двух взаимодействующих частиц оператор Шредингера определён в пространстве квадратично интегрируемых функций и имеет вид: , где — вектор трёхмерного пространства[1].
где — вектор одномерного пространства. В случае бесконечно растущего потенциала при его спектр является дискретным, однократным. В случае гармонического осциллятора — . Собственные значения и собственные функции , где , — полиномы Эрмита.
Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972. — 544 с.
Цикон Х., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. — М.: Мир, 1990. — 408 с. — ISBN 5-03-001422-5.