Остаток от деления в арифметике  — один из результатов операции деления с остатком. Образуется, если результат деления не может быть выражен целым числом, при этом остаток от деления должен быть меньше делителя. В случае, если числа делятся друг на друга без остатка, или нацело, то считают, что остаток равен нулю. Термин применяется также при делении многочленов.

Натуральные числа

Остатком называется неотрицательное число, которое в сумме с произведением неполного частного и делителя даёт делимое. То есть,

если , то , где , то есть при делении на даёт (неполное) частное и остаток .

Остаток от деления a на b можно явно выразить через функцию «пол»:

Примеры

• При делении 7 на 2, неполным частным является 3, а остатком 1 (формально , остаток 1), так как
• При делении 56 на 7, частным является 8, а остатком 0 (формально , остаток 0), так как
• При делении 13 на 10, неполным частным является 1, а остатком 3 (формально , остаток 3), так как

Обобщения

Целые числа

Формула

даёт обобщение понятия остатка на случай деления целого числа a на целое число b. При этом выполняется соотношение и неравенство .

Вещественные числа

Если два числа и (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, может быть поделено на без остатка, при этом частное является также вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.

Формально:

если , то , где

Пример:

(остаток 1,6)

Многочлены

При делении двух полиномов и степень остаточного полинома должна быть строго меньше степени делителя:

, причём

Пример

(здесь остатком является свободный член)

См. также

• Деление с остатком
• Сравнение по модулю
• Алгоритм Евклида