У этого термина существуют и другие значения, см. Вариация.
В математическом анализевариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в является обобщением понятия длины кривой, задаваемой в этой функцией.
Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию. Частное двух функций из будет иметь ограниченную вариацию (другими словами, принадлежать классу ), если модуль знаменателя будет больше, чем положительная постоянная на отрезке .
Если , а , то .
Если функция непрерывна в точке справа и принадлежит , то .
Функция , заданная на отрезке , является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы возрастающей и убывающей на функции (разложение Жордана).
Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множествоточек разрыва, причём все первого рода.
Если функция принадлежит классу , то есть имеет непрерывнуюпроизводную первого порядка на отрезке , то — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:
Первоначально класс функций с ограниченной вариацией был введён К. Жорданом в связи с обобщением признака Дирихле сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. Жордан доказал, что ряды Фурье -периодичических функций класса сходятся в каждой точке действительной оси. Однако в дальнейшем функции ограниченной вариации нашли широкое применение в различных областях математики, особенно в теории интеграла Стилтьеса.
Рассматривается также класс , который определяется следующим образом:
где () — положительная при монотонно возрастающая непрерывная функция;
— произвольное разбиение отрезка .
Величина называется -вариацией функции на отрезке .
Если , то функция обладает ограниченной -вариацией на отрезке . Класс всех таких функций обозначается через или просто как [3]. Определение класса предложено Л. Янгом (англ.)[4] (L. С. Young).
Частным случаем классов Янга являются классы Жордана, при этом . Если при , то получаются классы Н. Винера[5] (N. Wiener).