Полупрямое произведение — конструкция в теории групп, позволяющая строить новую группу по двум группам и , и действию группы на группе автоморфизмами.
Полупрямое произведение групп и над обычно обозначается .
Конструкция
Пусть задано действие группы на пространстве группы с сохранением её групповой структуры. Это означает, что задан гомоморфизм группы в группу автоморфизмов группы . Автоморфизм группы , соответствующий элементу из при гомоморфизме обозначим . В качестве группы — полупрямого произведения групп и над гомоморфизмом — берётся множество c бинарной операцией , действующей по правилу:
- для любых , .
Свойства
- Группы и естественно вложены в , причём — нормальная подгруппа в .
- Каждый элемент однозначно разложим в произведение , где и — элементы групп и соответственно. (Это свойство оправдывает название группы как полупрямого произведения групп и .)
- Заданное действие группы на группе совпадает с действием на сопряжениями (в группе ).
Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе (свойство универсальности полупрямого произведения групп).
Обоснование
- Ассоциативность операции проверяется непосредственно. Используются соотношения
-
- и .
- Единицей группы G служит элемент , где и - единицы в группах N и H соответственно.
(Используется равенство .)
- Элемент, обратный к , равен .
- Для доказательства того, что этот элемент обратен слева, используется равенство .
- Отображения и гомоморфно вкладывают группы N и H в группу G. Их образы имеют единственный общий элемент - единицу группы G.
- Отображение есть эпиморфизм группы G на группу H с ядром N. Отсюда следует, что группа N нормальна в G.
- Равенство даёт разложение произвольного элемента группы G в произведение элементов n и h из групп N и H соответственно. Из этого же равенства следует и единственность разложения.
- Равенство показывает, что действие группы H на N, задаваемое гомоморфизмом совпадает с действием H на N сопряжениями.
- Чтобы доказать универсальное свойство полупрямого произведения, надо воспользоваться формулой .
Из неё следует, что произведение в группе G с однозначным NH-разложением (при условии нормальности группы N) полностью определяется правилами умножения внутри подгрупп N и H и правилами сопряжения элементов из N элементами из H.
Пример
Группа вычетов по модулю 4 () действует на (рассматриваемой как аддитивная группа соответствующего кольца) четырьмя разными способами:
- , где — фиксированный ненулевой элемент , , .
Соответственно, на множестве можно ввести 4 структуры группы — полупрямого произведения:
Можно показать, что последние две группы изоморфны, а остальные — нет, а также, что эти примеры перечисляют все группы порядка 20, содержащие элемент порядка 4 (при этом используются теоремы Силова).
Подобным образом полупрямое произведение групп используется вообще для классификации конечных групп.
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7