14-10-2023
Пряма́я — одно из основных понятий геометрии.
При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.
Аналитически прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени.
Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:
где , и — произвольные постоянные, причем постоянные и не равны нулю одновременно. Вектор с координатами называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (−B, A) или (B, −A) называется направляющим вектором.
При прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде
Уравнение прямой линии, пересекающей ось в точке и образующей угол с положительным направлением оси :
Коэффициент называется угловым коэффициентом прямой. В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси
Уравнение прямой линии, пересекающей ось в точке и ось в точке :
В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.
где — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси и направлением этого перпендикуляра. Если , то прямая проходит через начало координат, а угол задаёт угол наклона прямой.
Пусть дана прямая Тогда и Рассмотрим для этого перпендикуляра его орт Допустим, что угол между и осью равен Так как то можно записать: Теперь рассмотрим произвольную точку Проведём радиус-вектор Теперь найдём проекцию на вектор Следовательно, Это и есть нормальное уравнение прямой. ■
Если прямая задана общим уравнением то отрезки и отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент расстояние прямой от начала координат и выражаются через коэффициенты , и следующим образом:
Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие В этом случае и являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.
Если заданы две несовпадающие точки с координатами и , то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением
или
или в общем виде
Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой Параметр пробегает все действительные значения.
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:
где — производный параметр, — координаты и направляющего вектора прямой. При этом
Смысл параметра аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.
Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:
где — координаты и направляющего вектора прямой, и координаты точки, принадлежащей прямой.
Уравнение прямой в полярных координатах и :
или
Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:
Числа и называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.
Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:
где — радиус-вектор некоторой фиксированной точки лежащей на прямой, — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), — радиус-вектор произвольной точки прямой.
Параметрическое уравнение прямой в пространстве:
где — координаты некоторой фиксированной точки лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Каноническое уравнение прямой в пространстве:
где — координаты некоторой фиксированной точки лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Общее векторное уравнение прямой[уточнить] в пространстве:
то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:
Векторное уравнение прямой в пространстве[1] :
где фиксированный вектор , ортогональный вектору , можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.
Три точки , и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие
Отклонение точки от прямой может быть найдено по формуле
где знак перед радикалом противоположен знаку Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.
В пространстве расстояние от точки до прямой, заданной параметрическим уравнением
можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент этой точки может быть найден по формуле
Две прямые, заданные уравнениями
или
пересекаются в точке
Угол между пересекающимися прямыми определяется формулой
При этом под понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами , , , и ) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.
Эти прямые параллельны, если или , и перпендикулярны, если или .
Любую прямую, параллельную прямой с уравнением можно выразить уравнением При этом расстояние между этими прямыми будет равно
Если знак перед радикалом противоположен то будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.
Для того, чтобы три прямые
пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Если и , то прямые и перпендикулярны.
Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Конические сечения | |
---|---|
Главные типы | Эллипс • Гипербола • Парабола |
Вырожденные | Точка • Прямая • Пара прямых |
Частный случай эллипса | Окружность |
Геометрическое построение | Коническое сечение • Шары Данделена |
См. также | Коническая константа |
Математика • Геометрия |
Прямая.