Эквивалентным образом, рациональную нормальную кривую можно задать как множество общих нулей однородных многочленов
где — однородные координаты на . Рассматривать все эти эти многочлены не обязательно, для задания кривой достаточно выбрать, например, и
Альтернативная параметризация
Пусть — различных точек на Тогда многочлен
является однородным многочленом степени с различными корнями. Многочлены
образуют базис пространства однородных многочленов степени n. Отображение
также задаёт рациональную нормальную кривую. Действительно, мономы являются всего лишь одним из возможных базисов в пространстве однородных многочленов, и его можно перевести линейным преобразованием в любой другой базис.
Данное отображение отправляет нули многочлена в «координатные точки», то есть точки, все однородные координаты которых, кроме одной, равны нулю. Обратно, рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки, может быть задана параметрически при помощи некоторого многочлена
Свойства
Любые точки на рациональной нормальной кривой в линейно независимы. Обратно, любая кривая с таким свойством является рациональной нормальной.
Для любых точек в таких что любые из них линейно независимы, существует единственная рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки. Для построения такой кривой достаточно перевести из точек в «координатные», а затем, если оставшиеся точки перешли в в качестве многочлена выбрать многочлен, зануляющийся в точках
Рациональная нормальная кривая в случае не является полным пересечением, то есть её невозможно задать числом уравнений, равным её коразмерности.[1]
Примечания
MATH 216: FOUNDATIONS OF ALGEBRAIC GEOMETRY, page 482.
Литература
Харрис, Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М.: МЦНМО, 2005. — 400 с. — ISBN 5-94057-084-4.