18-04-2023
Спино́р (англ. spin — вращаться) — специальное обобщение понятия вектора, применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства.
Смысл спинорного описания пространства V — построение вспомогательного комплексного линейного пространства S, так чтобы V вкладывалось в (в тензорное произведение пространства S на комплексно-сопряжённое к себе). Элементы пространства S и называются «спинорами»; зачастую (хотя и не обязательно) у них отсутствует какой-либо прямой геометрический смысл. Однако, на спинорах можно «почти» определить действие группы вращений, а именно вращение действует на спинор с точностью до неопределённого комплексного множителя, равного по модулю 1 (в простых случаях, с точностью до ±1).
Если исходное пространство V рассматривалось над полем вещественных чисел , то вектора из V будут описаны эрмитовыми матрицами.
Математически строгое обоснование такого построения делается с помощью алгебры Клиффорда, построенной по изучаемому пространству (V).
Спиноры впервые были рассмотрены в математике Э. Картаном в 1913 году. Они были вновь открыты в 1929 году Б. ван дер Варденом в связи с исследованиями по квантовой механике.
Содержание |
Для представления 3-мерного пространства в качестве S необходимо взять 2-мерное комплексное пространство . Вектора трёхмерного пространства будут соответствовать матрицам с нулевым следом.
Спиноры 3-мерного евклидова пространства обладают алгеброй, близкой к алгебрам скалярного и векторного произведений. Эта алгебра допускает удобное описание в терминах кватернионов Гамильтона. Именно, с каждым вектором x = (x1, x2, x3) из вещественных (или комплексных) чисел можно ассоциировать комплексную матрицу
Матрицы такой формы обладают следующими свойствами, внутренне связывающими их с геометрией 3-мерного пространства:
Имея эффективный способ представления всей геометрии вращений 3-мерного пространства набором комплексных 2×2-матриц, естественно задаться вопросом, какую роль играют 2×1-матрицы, если вообще они играют какую-то роль. Временно назовём спинором вектор-столбец
с комплексными компонентами ξ1 и ξ2. Очевидно, в пространстве спиноров действуют комплексные 2×2-матрицы. Более того, произведение двух отражений (для данной пары единичных векторов) определяет 2×2-матрицу, действие которой на эвклидовы векторы есть вращение, так что она вращает спиноры. Но здесь есть важное свойство — факторизация вращения не единственна. Ясно, что если X → RXR−1 есть представление вращения, то замена R на -R даст то же самое вращение. На самом деле, можно легко показать, что это единственная возникающая неопределенность. Действие операции вращения на спинор всегда двузначно.
Если к трём матрицам Паули добавить ещё и единичную матрицу (за номером 0), то мы получим спинорное представление пространства Минковского M:
При этом светоподобные вектора (нулевой длины) будут отвечать вырожденным матрицам вида , где . Соответствие между пространством Минковского и эрмитовыми матрицами 2×2: M≈Herm(2) будет взаимно-однозначным.
Спиноры отнюдь не являются чисто абстрактным построением, никак не проявляющим себя по отношению к геометрии реальности. Многие встречающиеся в квантовой механике величины являются спинорами (см. спин, уравнение Дирака). При релятивистском рассмотрении используется изложенное выше спинорное представление пространства Минковского; например, существует довольно простое спинорное представление уравнений Максвелла.
При малых скоростях используются 3-мерные спиноры.
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Спинор.