Это список парадоксов, сгруппированных по темам.

Парадо́кс (от др.-греч. παράδοξος — неожиданный, странный от др.-греч. παρα-δοκέω — кажусь) — ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения. Следует различать парадокс и апорию. Апория, в отличие от парадокса, является вымышленной, логически верной ситуацией (высказыванием, утверждением, суждением или выводом), которая не может существовать в реальности.

Логические (кроме математических)

• Парадокс импликации: Несовместные посылки делают аргумент верным.
• Парадокс воронов (или Во́роны Хемпеля): Существование красного яблока увеличивает вероятность того, что все во́роны чёрные.
• Доказательство одноцветности всех лошадей методом математической индукции.
• Парадокс неожиданной казни: Если сказать осуждённому на казнь, что она произойдёт в неожиданный для него день этой недели, то он логически придёт к выводу, что она не может произойти ни в один из дней недели. Тогда она и будет сюрпризом.
• Парадокс сатанинской бутылки Стивенсона описывается схожей логикой.
• Парадокс пьяницы: В любом непустом заведении всегда существует человек такой, что если он пьёт, то пьют и все остальные посетители.
• Парадокс Кэрролла: «Whatever Logic is good enough to tell me is worth writing down…»
• Парадокс лотереи: Вполне ожидаемо (и философски проверяемо (англ.)), что данный конкретный билет не выиграет, но нельзя ожидать, что никакой билет не выиграет.

Парадоксы самореференции (самоотносимости)

Это хорошо известный (и хорошо изученный) класс противоречий, возникающих в высказываниях, которые содержат определение чего-либо, неявно ссылающееся на само себя.

• Парадокс Берри: Фраза «наименьшее число, которое нельзя описать менее, чем десятью словами» описывает это число девятью словами.
• Парадокс Карри: «Если это утверждение верно, то русалки существуют»
• Парадокс Эпименида: Критянин говорит: «Все критяне — лжецы»
• Парадокс исключений (англ.): «Если у каждого правила есть исключения, то каждое правило должно иметь хотя бы одно исключение, кроме этого» …а это не исключение к правилу, которое утверждает, что у каждого правила есть исключения?
• Парадокс Греллинга-Нельсона (англ.): Является ли слово «гетерологичный», означающее «неприменимый к самому себе», гетерологичным словом? (Близко к Парадоксу Рассела)
• Парадокс Гегеля: «История учит человека тому, что человек ничему не учится из истории»
• Парадокс лжеца: «Это предложение ложно»
• Y-комбинатор в лямбда-исчислении и комбинаторной логике был назван парадоксальным комбинатором так как он связан с самоотносимостью.
• Парадокс Петрония: «Ограничивайте себя во всех вещах, даже в ограничении»
• Парадокс Квина (англ.): «…влечёт за собой ложность, будучи добавленным к собственному цитированию» влечёт за собой ложность, будучи добавленным к собственному цитированию
• «Парадокс Эватла» (софизм Эватла): Протагор взял ученика Эватла при условии, что тот ему заплатит, когда выиграет первое дело. Случилось так, что Протагор подал иск на Эватла за то, что тот ему долго не платит. Должен ли Эватл заплатить, если он выиграет это дело?
• Парадокс Рассела: Содержит ли множество всех множеств, которые не содержат себя, само себя? Рассел популяризовал его в форме «парадокса брадобрея»: «Брадобрей бреет только тех людей, которые не бреются сами. Бреет ли он себя?»
• Парадокс Ришара: Если сопоставить все свойства чисел с числами, то можно определить такое свойство, которому не будет соответствовать никакое число.
• Парадокс определения: Невозможно дать определение определению, ибо пока мы не дали это определение, само понятие определения остается неизвестным.
• Прикажите слуге не слушаться Вас. Не слушаясь Вас, он ослушается приказа, так как он исполняет его, слушаясь Вас.
• Запрещено запрещать.
• Быть убеждённым в том, чтобы не иметь никаких убеждений.
• Советую Вам не слушать моих советов.
• Чем больше сыра, тем больше в нём дырок, но, ведь, чем больше дырок, тем меньше сыра. Получается, чем больше сыра, тем меньше сыра? (Алиса в зазеркалье)
• Чем больше самоубийц, тем меньше самоубийц.
• Чем больше мы учимся, тем больше мы знаем. Чем больше мы знаем, тем больше мы забываем. Чем больше мы забываем, тем меньше мы знаем. Зачем тогда учиться?
• Надпись на стене: «Долой надписи на стенах!».

^{[источник не указан 301 день]}

Парадоксы определений

• Корабль Тесея. Если каждый элемент корабля был заменён хотя бы один раз, можно ли считать корабль прежним кораблём?
• Парадокс кучи (англ.). В какой момент куча перестанет быть кучей, если отнимать от неё по одной песчинке?
• Парадокс лысого. Если волосы с головы выпадают по одному, с какого момента человек становится лысым?
• Парадокс интересных чисел. Наименьшее неинтересное натуральное число интересно само по себе этим фактом, но тогда оно не относится к неинтересным.

Математические и статистические

См. также: Категория:Математические парадоксы

• Парадоксы пропорционального представительства в США (en): Некоторые системы представительства могут иметь последствия, идущие против интуиции:
  • Парадокс Алабамы
  • Парадокс новых штатов
  • Парадокс населения (англ.)
• Парадокс голосования (Парадокс Эрроу/Arrow’s paradox (англ.)): Нельзя совместить все требования к избирательной системе в одной системе.
• Закон Бенфорда: Во многих списках чисел из произвольных реальных источников, большинство чисел начинаются с цифры 1.
• Парадокс лифта: Лифты чаще всего ходят в одном направлении — от середины здания вниз к подвалу и вверх к чердаку
• Парадокс ожидания: Почему иногда приходится ждать автобус дольше, чем нужно. (пояснение смотрите в англ. статье Renewal theory)
• Игра в нетранзитивные кости (англ.): существует набор из 3 костей А, В и С таких, что чаще всего на А выпадает бо́льшее число, чем на В; на В чаще выпадает бо́льшее число, чем на С; на С чаще выпадает бо́льшее число, чем на А.
• Игра Пенни: нетранзитивный парадокс, разновидность игры в нетранзитивные кости.
• Парадокс Линдли (англ.): маленькие ошибки в нулевой гипотезе сильно возрастают, если анализируются большие массивы данных, приводя к ложным, но одновременно точным со статистической точки зрения результатам.
• Парадокс недоношенности (англ.): Низкий вес при рождении и курение матери приводят к большой смертности. Дети курящих родителей имеют более низкий вес при рождении, однако маловесящие дети курящих родителей имеют более низкую смертность, чем другие маловесящие дети.
• Парадокс пропавшего доллара (англ.): Неправильная логика приводит к тому, что один доллар «пропадает».
• Парадокс корреляции: Вполне возможно сделать ложные заключения из корреляции. К примеру, города с бо́льшим количеством церквей имеют больше преступлений, потому что оба фактора следуют из бо́льшего населения. Это называется ложной корреляцией.
• Триада отрицательных Спирмена между предпочтениями любых двух избирателей из этой тройки отрицателен и равен −0,5. Отрицательные же корреляции между рангами предпочтений у разных людей характеризуют, по смыслу понятия корреляции, скорее несогласие между этими людьми, чем их согласие.
• Феномен Уилла Роджерса: математическое понятие среднего, определённое как среднее арифметическое, или как медиана — неважно, приводит к парадоксальному результату — например, возможно переместить статью из Википедии в Викицитатник так, чтобы средняя длина статьи увеличилась на обоих сайтах!
• Парадокс маляра: Бесконечную по площади пластинку можно окрасить конечным количеством краски.
• Парадокс Паррондо: Возможно выиграть, играя поочерёдно в две заведомо проигрышные игры.
• Парадокс ряда 1-1+1-… (Ряд Гранди) Имеется бесконечный ряд 1-1+1-… Чему он равен? Можно доказать, что он равен 0, 1 или 0,5.
• Как ни парадоксально, но при довольно естественных определениях можно показать, что 1 + 2 + 3 + 4 +... = -1/12 (англ.).

Вероятностные

См. также: Категория:Вероятностные парадоксы

• Парадокс Берксона: два независимых события становятся условно зависимыми при условии, что хотя бы одно из них произошло.
• Парадокс Бертрана: Различные определения случайной величины, основанные на «здравом смысле», дают различные результаты.
• Парадокс дней рождения: Какая вероятность того, что у двух учеников из одного класса день рождения совпадает? Оказывается — более 50 %, если учеников больше 23.

• Парадокс Бореля (англ.): Плотность условной вероятности не инвариантна при преобразованиях координат.
• Пол второго ребенка: Если один из двух детей в семье — мальчик, какова вероятность того, что второй ребёнок — девочка?
• Парадокс Монти Холла: Неочевидное следствие условной вероятности. По сути дела то же, что и задача трёх узников.
• Парадокс Симпсона: Основные интересы подобщества могут оказаться совсем не основными во всём обществе. Поэтому если два ряда данных соответствуют одной определённой гипотезе, будучи объединёнными, они могут соответствовать противоположной гипотезе.
• Задача спящей красавицы: Вероятностная задача, которая может иметь в качестве ответа 1/2 или 1/3 в зависимости от того, с какой стороны рассматривать вопрос.
• Задача трёх карточек (англ.): Истинная вероятность того, что обратная сторона случайно выбранной карты окажется того же цвета, что и верхняя, противоречит интуитивной оценке такой вероятности некоторыми людьми.
• Парадокс двух конвертов: Вам дают два одинаковых конверта и говорят, что один из них содержит в два раза больше денег, чем другой. Вы должны открыть один из них, проверить содержимое, а затем, не открывая другой, решить, какой из конвертов взять.
• Парадокс пари. В некоторых ситуациях выгодно спорить обоим противникам, ибо оба имеют бо́льшие шансы на победу, чем на проигрыш.
• Парадокс Ходжсона (англ.): Отношение двух распределённых гауссово случайных переменных не имеет ни математического ожидания, ни дисперсии
• Ошибка игрока (gambler’s fallacy) — (ложный вывод Монте-Карло) о том, что выгодно ставить на красное, если чёрное выпало 10 раз подряд.
• Санкт-Петербургский парадокс: Люди вряд ли будут играть в эту игру, хотя математическое ожидание выигрыша в ней бесконечно велико.
• Парадокс закономерности. Увидев явную закономерность в результатах серии испытаний (например, выпадение 10000 раз подряд одного и того же варианта из двух возможных), мы будем склонны считать, что испытания не являются случайными. Однако появление любой другой последовательности из 10000 значений в случайных испытаниях является настолько же маловероятным событием.

Связанные с бесконечностью

• Парадокс Бурали-Форти: Если бы все порядковые числа (в том числе и трансфинитные) образовывали множество, тогда существовало бы порядковое число, которое меньше самого себя.
• Парадокс Галилея: Хотя большинство чисел не является квадратами, всех натуральных чисел не больше, чем квадратов (если сравнивать эти множества по мощности). (См. также Г. Кантор, Diagonal Argument (англ.))
• Парадокс Гильберта (англ.): Если гостиница с бесконечным количеством номеров полностью заполнена, в неё можно поселить ещё посетителей, даже бесконечное число.
• Парадокс Дьявольского Монти (англ.): Положительная прибыль каждый день приводит к нулевому балансу в (бесконечном) пределе.
• Парадокс Сколема: Счётное количество бесконечных моделей теории множеств содержит несчётные множества.
• Многие бесконечные задачи (англ.) приводят к парадоксам, например, задача об апельсинах (англ.).
• Множество начальных отрезков счётного линейно упорядоченного множества может быть несчётным. Пример: множество начальных отрезков множества рациональных чисел .

Геометрические или топологические

• Парадокс Банаха — Тарского: Возможно разрезать шар на 5 частей, сложить их по-другому и получится два шара такого же радиуса, как и первоначальный.
• Квадратура круга Тарского‎: Круг и квадрат равной площади равносоставлены при конечном разбиении.
• Рог Гавриила (англ.) или «труба Торричелли»: Простое тело, имеющее конечный объём, но бесконечную площадь поверхности. Множество Мандельброта и различные другие фракталы имеют конечную площадь, но бесконечный периметр. Более того на границе множества Мандельброта не существует двух различных точек, между которыми конечное расстояние по периметру, что можно понять так: если Вы пойдёте вдоль границы этого множества, Вы нисколько не сдвинетесь из одной точки.
• Парадокс Хаусдорфа: Существует счётное подмножество C на сфере S такое, что S\C можно разбить на две копии самого себя.
• Парадокс побережья (англ.): периметр континента не может быть корректно определён (не может быть сопоставлен конкретному числу)

• Парадокс Смейла: Сфера топологически может быть вывернута наизнанку.
• Исчезновение клетки: При различных вариантах складывания одних и тех же элементов в одинаковую фигуру "исчезновение" элемента наглядно демонстрирует, что площади получаемых фигур различны. (При более внимательном рассмотрении, однако, можно заметить, что исходная и конечная фигуры различны, этим и объясняется разница площадей, поэтому данный парадокс относится к визуальным иллюзиям)

Связанные с выбором

• Парадокс Абилина: Бывает, что люди принимают решения, основанные не на том, что они сами хотят, но на том, что они думают, что другие хотят. В результате получается, что каждый делает что-то, что никому на самом деле не нужно.
• Буриданов осёл: Как можно совершить рациональный выбор между двумя вещами, имеющими одинаковую ценность?
• Парадокс контроля (англ.): Человек не может быть свободен от контроля, ибо чтобы быть свободным от контроля, нужно контролировать себя.
• Вилка Мортона: Выбор из двух плохих альтернатив («выбор из двух зол»).
• Загадка Кавки о яде (англ.): Может ли человек быть намеренным выпить смертельный яд, если намерение — единственная вещь, которая нужна для получения награды?
• Дилемма заключённого: При некоторых условиях оптимальная стратегия поведения каждого игрока, если каждый игрок исходит из эгоистичных соображений, оказывается проигрышной для группы в целом и для каждого игрока в отдельности.

Химические

• SAR-парадокс (англ.): Исключения из правила, что малое изменение в молекуле влечёт за собой малое изменение в химическом поведении, часто очень глубоки по смыслу^{[источник не указан 298 дней]}.
• Парадокс Левинталя: Промежуток времени, за который полипептидная цепочка приходит к своему скрученному состоянию, на много порядков меньше, чем оно могло бы быть, если она просто перебирала все возможные конфигурации.

Физические

Смотрите статью Физические парадоксы (англ.).

Из теории относительности и квантовой механики

• Парадокс Белла: Разорвётся ли струна, соединяющая релятивистские объекты?
• Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена: Могут ли далёкие друг от друга события влиять друг на друга (в квантовой механике)?
• ГЗК-парадокс: Наблюдаемые высокоэнергетичные космические лучи, похоже, нарушают предел Грайзена-Зацепина-Кузьмина, который является следствием СТО.
• Парадокс лестницы (англ.): Может ли лестница за счёт релятивистского сокращения длины поместиться в меньший по размеру гараж?
• Кот Шрёдингера. Квантовый парадокс: кот жив или мёртв перед тем, как мы на него посмотрим?
• Парадокс близнецов: Когда близнец-путешественник вернулся, он стал моложе или старше, чем его брат, который оставался на Земле?
• Парадокс субмарины: Сила Архимеда на релятивистский (англ.) объект (типа пули) изменяется при переходе от системы отсчёта, в которой покоится пуля, в систему отсчёта, в которой покоится жидкость.
• Парадокс Эренфеста о кинематике абсолютно твёрдого вращающегося диска.
• Исчезновение информации в чёрной дыре: Чёрная дыра нарушает общепризнанную научную догму — что информация не уничтожается.

Связанные с путешествиями во времени

• Парадокс происхождения (англ.) ставит вопрос о происхождении объектов или информации при путешествиях в прошлое.
• Парадокс убитого дедушки: Вы перемещаетесь в прошлое и убиваете своего дедушку до того, как он познакомился с Вашей бабушкой. Из-за этого Вы не сможете появиться на свет и, следовательно, не сможете убить своего дедушку.
• Парадокс предопределения (англ.): Человек попадает в прошлое, имеет половую связь со своей прабабушкой и зачинает своего дедушку. В результате получается череда потомков, включая родителя этого человека и его самого. Следовательно, если бы он не путешествовал в прошлое, его бы вообще не существовало.

Гидродинамические

• Парадокс Даламбера: Идеальная жидкость не оказывает сопротивления шару, движущемуся в ней.
• Парадокс Архимеда: Огромный корабль может плавать в нескольких литрах воды.
• Парадокс чайного листа (англ.): после перемешивания чая чаинки собираются у центра и дна кружки вместо того, чтобы устремляться к ее стенкам под действием центробежной силы.

Другие

• Парадокс Браеса (англ.): Устройство, добавляющее мощность сети, может уменьшить общую производительность.
• Парадокс Кэррола (англ.): Момент инерции палочки должен быть равен нулю, но он не равен.
• Парадокс Денни: Живущие на поверхности воды членистоногие, согласно расчётам, не могут двигаться по поверхности, что противоречит природе.
• Парадокс интернета: Вероятность существования нужной информации в Интернете возрастает, а возможность её найти уменьшается.
• Парадокс Ферми: Если многие другие разумные существа присутствуют во Вселенной, как это можно предположить, тогда где они? Почему они не дают о себе знать (намеренно или случайно, искусственными излучениями)?
• Парадокс Гиббса: В идеальном газе является ли энтропия экстенсивной (аддитивной) переменной?
• Парадокс Лошмидта (англ.): Почему есть неизбежный рост энтропии, хотя физические законы инвариантны относительно инверсии времени?
• Парадокс перемешивания (англ.) — относительно энтропии системы до и после перемешивания.
• Парадокс Мпембы: Горячая вода (при некоторых условиях) может замёрзнуть быстрее, чем холодная. Хотя при этом она должна пройти температуру холодной воды в процессе замерзания.
• Фотометрический парадокс (Парадокс звёздного неба, парадокс Шезо — Ольберса): Почему ночное небо — чёрное, хотя в нём бесконечное число звёзд?
• Тепловая смерть вселенной: В 1850 г. немецкий физик Р. Клаузиус «… пришёл к выводу, что в природе теплота переходит от тёплого тела к холодному… состояние Вселенной должно всё больше изменяться в определённом направлении… Эти представления развил английский физик Уильям Томсон, согласно которому все физические процессы во Вселенной сопровождаются превращением световой энергии в теплоту». Следовательно, Вселенную ожидает «тепловая смерть», поэтому бесконечное существование Вселенной во времени невозможно.
• Ахиллес и черепаха: Быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса, так как пока он переместится в точку, где была черепаха, она успеет продвинуться хоть немного вперёд.

Философские

• Тотальная казнь, или парадокс смертной казни: Убийство в некоторых странах карается смертной казнью. Но исполняя приговор, государство (то есть все его жители) становятся убийцами и должны быть приговорены к смерти.
• Парадокс эпикурейцев, или Проблема зла: Кажется, что существование зла несовместимо с существованием всемогущего и заботливого Бога.
• Парадокс Ньюкома — парадоксы всезнания:
  • Почему можно выиграть у противника, знающего всё?
• Парадокс Хаттона (англ.): Если кто-то спрашивает себя: «Сплю ли я?», то это доказывает, что он спит, то что это доказывает во время бодрствования?
• Парадокс либеральности (англ.): «Минимальная свобода» не является равновесной по Парето.
• Аддитивность счастья (англ.): Что лучше: большая группа людей, живущая сносной жизнью, или небольшая, живущая счастливо?
• Парадокс Мура (англ.): «Идёт дождь, но я не верю в это».
• Парадокс нигилизма (англ.): Если правда не существует, то утверждение «правда не существует» верно, что доказывает его неверность.
• Парадокс всемогущества: Может ли всемогущее существо создать камень, который оно само не сможет поднять?
• Довольно близок к предыдущему Парадокс непреодолимой силы (англ.): Что будет, если непреодолимая сила подействует на несдвигаемый объект? (Оба эти парадокса, после некоторого анализа, могут быть признаны парадоксами противоречивых посылок (англ.), либо в житейском смысле посылки будут уточнены как «непреодолимая ранее сила», воздействуя на «несдвигаемый ранее объект», даст невиданное ранее.)
• Стрела Зенона: Летящая стрела каждый момент времени занимает определенное положение в пространстве. Когда же она перемещается из одного положения в другое?
• Дихотомия: «Вы никогда не попадёте из точки А в точку Б, так как вы должны будете пройти половину пути, потом половину оставшейся половины, и так бесконечное число раз».

Экономические

См. также: Category:Economics paradoxes (англ.)

• Парадокс Алле: Изменение возможного дохода, который разделён между несколькими альтернативами, влияет на выбор людей между этими альтернативами, что противоречит теории ожидаемой пользы (англ.).
• Парадокс Базермана^[1]
• Парадокс бережливости: Если каждый будет экономить деньги во время экономического спада, то совокупный спрос упадёт и в результате уменьшатся суммарные накопления населения.
• Парадокс Бертрана — ситуация, когда два олигополиста, конкурируя между собой и достигнув равновесия Нэша, оказываются с нулевой прибылью.
• Парадокс Гибсона (англ.): Почему процентные ставки и цены скоррелированы?
• Парадокс Коперника — Грешема: Плохие деньги вытесняют хорошие, если они имеют одинаковую цену.
• Парадокс Гиффена: Если цены на хлеб начнут повышаться, люди станут покупать его больше.
• Парадокс Джевонса: Повышение эффективности ведёт к ещё бо́льшему повышению спроса.
• Парадокс Кондорсе — парадокс теории общественного выбора: Правило простого большинства не в состоянии обеспечить транзитивность бинарного отношения общественного предпочтения среди выбираемых вариантов. В силу нетранзитивности результат может зависеть от порядка голосования, что даёт возможность манипуляции выбором большинства. Обобщён теоремой «о невозможности» Эрроу в 1951 г.
• Парадокс Леонтьева: Некоторые страны экспортируют трудозатратные товары, а импортируют капиталозатратные, что является контрпримером к теории Хекшера — Олина.
• Парадокс продуктивности (англ.): Продуктивность работника уменьшается, несмотря на улучшения в технологиях.
• Парадокс Триффина: Для формирования долларовых резервов других стран необходимо, чтобы в США постоянно наблюдался дефицит платёжного баланса. Но дефицит платёжного баланса подрывает доверие к доллару и снижает его ценность в качестве резервного актива.
• Парадокс ценности: Почему вода стоит дешевле алмазов, хотя потребность человека в ней гораздо больше, чем в алмазах?
• Парадокс Эджворта (англ.): Может не существовать равновесия, если мощности производств ограничены.
• Парадокс Элсберга (англ.): Люди предпочитают известный, хотя и бо́льший, риск неизвестному риску, что противоречит теории ожидаемой пользы (англ.).

Юридические

• Парадокс неподсудного договора: Если существует процессуальное правило о том, что судья, рассматривающий дело, должен быть незаинтересован в исходе его рассмотрения, то дело, имеющее в себе договор, содержащий следующее условие: «Каждый судья, который будет рассматривать дело, в котором этот договор является доказательством, в случае признания его ничтожным имеет право получить от каждой из его сторон по 1 копейке», не может быть рассмотрено никаким судьёй^[2].

Психофизиологические

• Оптическая иллюзия
• Эффект Шепарда

См. также

• 0,(9)
• Головоломка
• Логическая ошибка
• Невозможная фигура
• Софизм
• Парадокс
• Парадокс кошки с маслом
• Парадокс слабого молодого Солнца

Примечания