Отношение — фундаментальное понятие реляционной модели данных. По этой причине модель и называется реляционной (от лат. relatio — отношение, связь).

Определения

-арным отношением , или отношением степени , называют подмножество декартовa произведения множеств , не обязательно различных. Исходные множества называют в модели доменами (в СУБД используется понятие множество значений, определяемых типом данных).

Отношение имеет простую графическую интерпретацию в виде таблицы, столбцы (поля, атрибуты) которой соответствуют вхождениям доменов в отношение, а строки (записи) — наборам из значений, взятых из исходных доменов. Число строк (кортежей) называют кардинальным числом отношения (кардинальностью), или мощностью отношения.

Такая таблица обладает рядом свойств:

1. В таблице нет двух одинаковых строк.
2. Таблица имеет столбцы, соответствующие атрибутам отношения.
3. Каждый атрибут в отношении имеет уникальное имя.
4. Порядок строк в таблице произвольный.

Под атрибутом здесь понимается вхождение домена в отношение. Строки отношения называются кортежами.

Формализованное определение введённых понятий.

• Заголовок Hr (или схема) отношения r — конечное множество упорядоченных пар вида <A, T>, где A называется именем атрибута, а T обозначает имя некоторого базового типа или ранее определенного домена, то есть множества допустимых значений. По определению требуется, чтобы все имена атрибутов в заголовке отношения были различны.

• Кортеж tr, соответствующий заголовку Hr — множество упорядоченных триплетов вида <A, T, v>, по одному такому триплету для каждого атрибута в Hr. Третий элемент — v — триплета <A, T, v> должен являться допустимым значением типа данных или домена T. Замечание: так как имена атрибутов уникальны, то указание домена в кортеже излишне.

• Тело Br отношения — неупорядоченное множество различных кортежей tr.

• Значением Vr отношения r называется пара множеств Hr и Br.

Полезно также понятие первичного ключа — это такой набор атрибутов, который однозначно определяет кортеж и минимален среди всех своих подмножеств (то есть нельзя убрать ни один из атрибутов). При добавлении новых записей первичный ключ обязан оставаться первичным ключом (например, неверным будет использование в качестве первичного ключа набора Имя + Отчество + Фамилия сотрудника, даже если на момент создания таблицы полных тёзок среди заносимых в неё людей не было).

Пример

Допустим, содержание доменов следующее:

• = {Иванов, Петров, Сидоров}
• = {Физика, Химия}
• = {3,4,5}

Тогда полное декартово произведение состоит из 18 троек, где первый элемент тройки — одна из фамилий, второй элемент — учебная дисциплина, а третий — оценка.

Тогда отношение R может моделировать реальную ситуацию и содержать пять строк, которые соответствуют результатам сессии (Петров экзамен по Физике не сдавал):

Операции, определённые над отношениями

См. также: реляционная алгебра, реляционное исчисление.

• Объединение — тело нового отношения является объединением тел старых
• Пересечение — тело нового отношения является пересечением тел старых
• Вычитание — тело нового отношения получено вычитанием тел старых
• Проекция — частный случай пересечения
• Декартово произведение — тело нового отношения является декартовым произведением тел старых
• Выборка — из исходного отношения выбираются лишь те кортежи, которые удовлетворяют новым доменам (заданным в условиях выборки)
• Соединение — выборка над декартовым произведением
• Деление — делитель является унарным отношением (то есть с единственным атрибутом). Частное — совпадающие части кортежей делимого, перед которыми стоит делитель.

В полученном объекте могут появиться одинаковые кортежи (например, при проецировании отношения из примера на отношение, заголовок которого состоит из единственного атрибута — фамилии, получим две пары одинаковых кортежей (два Иванова и два Сидорова) и ещё один кортеж (Петров). Необходимо удалить дубликаты, чтобы этот объект являлся отношением (тогда будет один Иванов, один Петров и один Сидоров).

Пример деления

Делимое:

Делитель:

Частное:

Остаток от деления:

Чтобы было проще понять этот пример, сравните его с обычной алгеброй: умножьте делитель на частное (декартово произведение), прибавьте остаток от деления (объединение), и Вы получите делимое. То есть если a/b=c, и остаток=d, тогда b*c+d=a.

Литература

• Дейт К. Введение в системы баз данных //6-издание. - Киев: Диалектика, 1998. - 784 с.
• Пушников А.Ю. Введение в системы управления базами данных. Часть 1. Реляционная модель данных: Учебное пособие / Издание Башкирского университета. - Уфа, 1999. - 108 с. - ISBN 5-7477-0350-1.