28-04-2023
Теория возмущений — метод приближенного решения задач теоретической физики, применимый в том случае, когда в задаче присутствует малый параметр, причём в пренебрежении этим параметром задача имеет точное решение. Физические величины, рассчитаные по теории возмущений, имеют вид ряда
где — решение невозмущённой задачи, — малый параметр. Коэффициенты находятся путём последовательных приближений, то есть выражается через . Применяется в небесной механике, квантовой механике, квантовой теории поля и т. д.
Исторически, первой дисциплиной, в которой была разработана теория возмущений, была небесная механика. Задача нахождения движения планет Солнечной системы есть задача тел, которая, в отличие от задачи двух тел, не имеет точного аналитического решения. Её решение, однако, облегчается тем, что ввиду малой массы планет, притяжение планет к друг другу намного слабее, чем притяжение их Солнцем. В пренебрежении массами планет задача сводится к независимым задачам двух тел, которые решаются точно; каждая планета движется в поле тяготения Солнца по эллиптической орбите согласно законам Кеплера. Это есть решение невозмущённой задачи, или нулевое приближение. Силы, действующие со стороны других планет, приводят к искажению, или возмущению этих эллиптических орбит. Для вычисления траектории планеты с учетом возмущения применяется следующий метод.
Положение планеты в пространстве и её скорость можно задать при помощи шести величин (по числу степеней свободы): большая полуось и эксцентриситет орбиты, наклонение орбиты её к плоскости эклиптики, долгота восходящего узла, долгота перигелия и момент прохождения через перигелий. Эти величины (обозначим их для простоты ) выгодно отличаются от декартовых координат и компонент скорости тем, что для невозмущённого движения они постоянны:
поэтому уравнения движения планеты, записаные через них, содержат малый параметр в правой части:
Ввиду этого, решать уравнения движения удобно методом последовательных приближений. В первом приближении подставим в правую часть решения невозмущённого уравнения, и найдём:
Для нахождения второго приближения подставляем найденное решение в правую часть (*) и решаем получившиеся уравнения и т. д.
Теория возмущений в квантовой механике применяется в том случае, когда гамильтониан системы можно представить в виде
где — невозмущённый гамильтониан (причём решение соответствующего уравнения Шрёдингера известно точно), а — малая добавка (возмущение).
Задача состоит в нахождении собственных функций гамильтониана (стационарных состояний) и соответствующих уровней энергии. Будем искать решения уравнения Шрёдингера для нашей системы
в виде разложения в ряд
где и — волновые функции и энергетические уровни невозмущённой задачи
а число нумерует энергетические уровни.
Подставляя (***) в (**), с точностью до членов первого порядка по возмущению получим
Домножая слева на , и учитывая, что — (ортонормированные) собственные функции невозмущённого гамильтониана, получаем
где — матричные элементы возмущения.
Вышеизложенная процедура работает, если невозмущённый уровень невырожден. В противном случае для нахождения поправок первого порядка необходимо решать секулярное уравнение.
Аналогичным образом находятся поправки следующих порядков, хотя формулы сильно усложняются.
Большинство вычислений в квантовой теории поля, в частности, в квантовой электродинамике (КЭД), также делаются в рамках теории возмущений. Невозмущенным решением являются свободные поля, а малым параметром — константа взаимодействия (в электродинамике — постоянная тонкой структуры ). Для представления членов ряда теории возмущений в наглядной форме используются диаграммы Фейнмана.
В наше время многие вычисления в КЭД не ограничиваются первым или вторым порядком теории возмущений. Так, аномальный магнитный момент электрона в настоящее время (2015) вычислен до 5-го порядка по [1].
Тем не менее, существует теорема о том, что ряд теории возмущений в КЭД является не сходящимся, а лишь асимптотическим. Это означает, что, начиная с некоторого (на практике — очень большого) порядка теории возмущений согласие между приближённым и точным решением будет уже не улучшаться, а ухудшаться[2].
Несмотря на свою кажущуюся универсальность, метод теории возмущений не срабатывает в определённом классе задач. Примерами могут являться инстантонные эффекты в ряде задач квантовой механики и квантовой теории поля. Инстантонные вклады обладают существенными особенностями в точке разложения. Типичный пример инстантонного вклада имеет вид:
Эта функция является неаналитичной в точке , а потому не может быть разложена в ряд Маклорена по .
Теория возмущений.