21-04-2023
Фе́рми-газ (или идеальный газ Фе́рми — Дира́ка) — газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака, имеющих малую массу и высокую концентрацию. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать, что потенциал, действующий на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми — Дирака.
Содержание |
Самая низкая энергия классического газа (или газа Бозе — Эйнштейна) при равна . То есть при нулевой температуре все частицы падают в самое низкое состояние и теряют всю свою кинетическую энергию. Однако, для газа Ферми это невозможно. Принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только одной ферми-частице с полуцелым спином.
Самую низкую энергию газа с частиц можно получить путем размещения по одной частице в каждом из квантовых состояний с наименьшей энергией. Поэтому энергия такого газа при будет отличной от нуля.
Величину несложно вычислить. Обозначим через энергию электрона в самом высоком квантовом состоянии, которое ещё заполнено при . При нулевой температуре все квантовые состояния с энергией ниже заняты, а все квантовые состояния с энергией выше — свободны.
Поэтому должно существовать ровно состояний с энергией ниже или равной . Этого условия достаточно для нахождения . Поскольку объём микроскопический, трансляционные состояния находятся близко один к другому в импульсном пространстве и мы можем заменить суммирование по трансляционным квантовым состояниям интегрированием по классическому фазовому пространству, предварительно разделив на :
где — число внутренних квантовых состояний, которые соответствуют внутренней энергии. Число , для электронов со спином 1/2. Интегрируя последнее выражение от до , величины импульса самого высокого заполненного при состояния с энергией , и приравнивая результат к , получаем с учетом того, что :
или для электронов с :
Величину , наивысшую энергию заполненных уровней, называют энергией Ферми.
Для ненулевых значений параметра плотность числа электронов в энергетическом пространстве находим путем умножения квантовых плотностей состояний
на множитель , который даёт число электронов на одно квантовое состояние:
где величина — химический потенциал при , а — химический потенциал при данной температуре.
Если проинтегрировать эту функцию по всем значениям , то можно определить как функцию от температуры.
Сравнивая результат, который входит в полного числа частиц . Отсюда видно, что для величина есть функция параметров и .
Энергию можно найти из соотношения:
откуда видно, что тут мы встречаемся с задачей нахождения интеграла типа:
в котором функция есть некоторая простая и непрерывная функция от , например или , и
Следует отметить, что величина имеет порядок от до К для большинства металлов.
Пропуская довольно громоздкие математические выкладки, в результате получим приблизительное значение химического потенциала:
которое выражает химический потенциал через параметры и .
Тут следует отметить, что эта зависимость не очень сильная, например для комнатных температур первая добавка составляет достаточно малую величину — . Поэтому на практике, при комнатных температурах химический потенциал практически совпадает с потенциалом ферми.
Ферми-газ.