4-импульс

Четырёхи́мпульс^[1]^[2], 4-и́мпульс — 4-вектор энергии-импульса, релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора импульса (количества движения) на четырёхмерное пространство-время. Три компоненты классического вектора импульса материальной точки при этом становятся тремя пространственными компонентами вектора четырёхимпульса. Временно́й компонентой вектора четырёхимпульса является (с точностью до множителя) полная энергия материальной точки.

$p^\mu= \begin{pmatrix} p_0 \\ p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E/c \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E/c \\ \vec p \end{pmatrix}.$

Четырёхимпульс полезен при релятивистcких расчётах, поскольку он является ковариантным вектором Лоренца (четырёхвектором) и, следовательно, инвариантен при переходе в другую инерциальную систему отсчёта (его компоненты при этом изменяются в соответствии с преобразованиями Лоренца).

Содержание

1 Квадрат четырёхимпульса
2 Отношение к четырёхскорости
3 Канонический импульс в пространстве в присутствии электромагнитного потенциала
4 См. также
5 Литература
6 Примечания

Квадрат четырёхимпульса

4-импульс и масса

Квадрат вектора четырёхимпульса точечной частицы является скалярным инвариантом, равным (с точностью до множителя ) квадрату массы частицы:

где c — скорость света, индексы используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.

Матрица g, входящая в скалярное произведение 4-вектора p на самого себя, является метрическим тензором пространства-времени. В специальной теории относительности используется метрика Минковского, особый вид матрицы , отвечающий плоскому (неискривлённому) пространству-времени:

$\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix};$ в этом случае

Таким образом, в СТО масса частицы не меняется при лоренцевских преобразованиях. Модуль четырёхимпульса для реальных частиц всегда неотрицателен (то есть 4-импульс всегда времениподобен или светоподобен; он мог бы быть отрицательным для гипотетических тахионов, движущихся быстрее света). Четырёхимпульс фотонов и других безмассовых частиц имеет нулевой модуль, для массивных частиц модуль положителен. В зависимости от соглашения о сигнатуре, модуль 4-импульса может быть определён с противоположным знаком.

Отношение к четырёхскорости

Для массивной частицы 4-импульс равен произведению её массы на четырёхскорость

где 4-скорость есть вектор

$U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}= \begin{pmatrix} U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma c \\ \gamma v^x \\ \gamma v^y \\ \gamma v^z \end{pmatrix},$

а величина — это фактор Лоренца и — собственное время частицы.

Канонический импульс в пространстве в присутствии электромагнитного потенциала

Для применения в релятивистской квантовой механике целесообразно определить «канонический» четырёхимпульс P_μ, который представляет собой сумму четырёхимпульса частицы и произведения её электрического заряда на четырёхвекторный потенциал электромагнитного поля:

где 4-потенциал является результатом комбинирования скалярного потенциала и 3-векторного потенциала

$\begin{pmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \varphi \\ -A_x \\ -A_y \\ -A_z \end{pmatrix}.$

Это указывает на потенциальную энергию заряженных частиц в электростатическом потенциале и на силу Лоренца, которая управляет движением заряженных частиц в магнитном поле, давая возможность включить их в уравнение Шрёдингера.

См. также

Интервал

Литература

Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7

Примечания

Алгебра четырехвекторов.

ПРОГРАММА-МИНИМУМ кандидатского экзамена по специальности 01.04.23 «Физика высоких энергий» по техническим и физико-математическим наукам.

Lt304888.ru

Туристические услуги

Рекомендуем