Арифметический корень

Арифметический корень n-й степени (n > 0) из числа a — это такое число b, что bⁿ = a. В поле действительных чисел корень может иметь до двух решений или ни одного, если это корень чётной степени из отрицательного числа. В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. Обозначается символом .

Арифметический корень 2-й степени называется квадратным корнем^[1] и может записываться без указания степени: . Арифметический корень 3-ей степени называется кубическим корнем^[2].

Свойства

$\sqrt[n]{0} = 0;$

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}, \qquad a, \ b \ge 0;$

$\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{1/n}\right)^m = a^{m/n}.$

Обобщения

Дробная степень числа (1+x), где |x|<1, может быть разложена в ряд Тейлора по формуле:

Корень комплексного числа

Корни третьей и шестой степени из единицы (вершины треугольника и шестиугольника соответственно)

Запишем комплексное число z в тригонометрической форме:

Тогда

где k = 0, 1, ..., n-1. Корень степени n имеет n значений. Поскольку для всех значений корня величина модуля одинакова, а меняется лишь его аргумент, все n значений корня располагаются на комплексной плоскости на окружности радиуса c центром в начале координат.

См. также

Примечания

↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
↑ М. И. Сканави. Элементарная математика. п.1.11, стр.49.

Lt304888.ru

Туристические услуги

Рекомендуем