Бикубическая интерполяция

Результат бикубической интерполяции функции заданной на сетке . Данную сетку можно рассматривать как состоящую из 9 единичных квадратов. Черными точками обозначены известные значения функции до интерполяции. Цветом обозначены интерполированные значения в каждой точке полученного изображения.

Бикубическая интерполяция — в вычислительной математике расширение кубической интерполяции на случай функции двух переменных, значения которой заданы на двумерной регулярной сетке. Поверхность, полученная в результате бикубической интерполяции является гладкой функцией, в отличие от поверхностей, полученных в результате билинейной интерполяции или интерполяции методом ближайшего соседа. Так же бикубическая интерполяция часто используется в обработке изображений, давая более качественное изображение по сравнению с билинейной интерполяцией.

Результат билинейной интерполяции на тех же входных данных. Частные производные не являются непрерывными и терпят разрыв на границах квадратов.

Результат интерполяции методом ближайшего соседа на тех же входных данных.

Бикубическая интерполяция сплайнами

Допустим, что необходимо интерполировать значение функции в точке , лежащей внутри квадрата , и известно значение функции в шестнадцати соседних точках . Тогда общий вид функции, задающей интерполированную поверхность, может быть записан следующим образом:

Для нахождения коэффициентов необходимо подставить в вышеприведенное уравнение значения функции в известных шестнадцати точках. Например:

$\begin{align} f(-1, 0) &= a_{0 0} &- &a_{1 0} &+ &a_{2 0} &- &a_{3 0} \\ f(0, 0) &= a_{0 0} \\ f(1, 0) &= a_{0 0} &+ &a_{1 0} &+ &a_{2 0} &+ &a_{3 0} \\ f(2, 0) &= a_{0 0} &+ &2 a_{1 0} &+ &4 a_{2 0} &+ &8 a_{3 0} \\ \end{align}$ .

Полностью в матричном виде:

где

$M=\left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 2 & -2 & 2 & -2 & 4 & -4 & 4 & -4 & 8 & -8 & 8 & -8 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 8 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 4 & 4 & 4 & 4 & 8 & 8 & 8 & 8 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & -1 & -2 & -4 & -8 & 1 & 2 & 4 & 8 & -1 & -2 & -4 & -8 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 1 & 2 & 4 & 8 & 1 & 2 & 4 & 8 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 2 & 4 & 8 & 16 & 4 & 8 & 16 & 32 & 8 & 16 & 32 & 64 \end{smallmatrix}\right]$ .

Решая получившуюся систему линейных алгебраических уравнений, можно найти значения в явном виде:

$\alpha^T = \frac{1}{36}\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 36 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -12 & 0 & 0 & 0 & -18 & 0 & 0 & 0 & 36 & 0 & 0 & 0 & -6 & 0 & 0 \\ 0 & 18 & 0 & 0 & 0 & -36 & 0 & 0 & 0 & 18 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 0 & 0 & 0 & 18 & 0 & 0 & 0 & -18 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -12 & -18 & 36 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 6 & -12 & 2 & 6 & 9 & -18 & 3 & -12 & -18 & 36 & -6 & 2 & 3 & -6 & 1 \\ -6 & -9 & 18 & -3 & 12 & 18 & -36 & 6 & -6 & -9 & 18 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -6 & 1 & -6 & -9 & 18 & -3 & 6 & 9 & -18 & 3 & -2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 18 & -36 & 18 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -6 & 12 & -6 & 0 & -9 & 18 & -9 & 0 & 18 & -36 & 18 & 0 & -3 & 6 & -3 & 0 \\ 9 & -18 & 9 & 0 & -18 & 36 & -18 & 0 & 9 & -18 & 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 6 & -3 & 0 & 9 & -18 & 9 & 0 & -9 & 18 & -9 & 0 & 3 & -6 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 & 18 & -18 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -6 & 6 & -2 & 3 & -9 & 9 & -3 & -6 & 18 & -18 & 6 & 1 & -3 & 3 & -1 \\ -3 & 9 & -9 & 3 & 6 & -18 & 18 & -6 & -3 & 9 & -9 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 3 & -1 & -3 & 9 & -9 & 3 & 3 & -9 & 9 & -3 & -1 & 3 & -3 & 1 \\ \end{smallmatrix}\right] x^T$ .

Единожды найденные коэффициенты теперь могут быть использованы для многократного вычисления интерполированного значения функции в произвольных точках квадрата .

Последовательная кубическая интерполяция

Другая интерпретация метода заключается в том, что для нахождения интерполированного значения можно сначала произвести кубическую интерполяцию в одном направлении, а затем в другом.

Для функции с известными значениями , , , можно построить кубический сплайн: , или в матричном виде

где

$\left[\begin{smallmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{smallmatrix}\right] = A \left[\begin{smallmatrix} f(-1) \\ f(0) \\ f(1) \\ f(2) \end{smallmatrix}\right]$ ,

$A = \frac{1}{6} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 6 & 0 & 0\\ -2 & -3 & 6 & -1\\ 3 & -6 & 3 & 0\\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Таким образом, для нахождения интерполированного значения в квадрате можно сначала рассчитать четыре значения , , , для зафиксированного , затем через полученные четыре точки построить кубический сплайн, и этим завершить вычисление :

$p(x, y) = \left[\begin{smallmatrix} 1 & y & y^2 & y^3 \end{smallmatrix}\right] A \left( \left[\begin{smallmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \end{smallmatrix}\right] A \left[\begin{smallmatrix} & f(-1, -1) & f(0, -1) & f(1, -1) & f(2, -1) \\ & f(-1, 0) & f(0, 0) & f(1, 0) & f(2, 0) \\ & f(-1, 1) & f(0, 1) & f(1, 1) & f(2, 1) \\ & f(-1, 2) & f(0, 2) & f(1, 2) & f(2, 2) \\ \end{smallmatrix}\right] \right)^T =$

$= \left[\begin{smallmatrix} 1 & y & y^2 & y^3 \end{smallmatrix}\right] A \left[\begin{smallmatrix} f(-1, -1) & f(-1, 0) & f(-1, 1) & f(-1, 2) \\ f(0, -1) & f(0, 0) & f(0, 1) & f(0, 2) \\ f(1, -1) & f(1, 0) & f(1, 1) & f(1, 2) \\ f(2, -1) & f(2, 0) & f(2, 1) & f(2, 2) \end{smallmatrix}\right] A^T \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ x \\ x^2 \\ x^3 \end{smallmatrix}\right]$

Lt304888.ru

Туристические услуги

Рекомендуем

Бикубическая интерполяция

Бикубическая интерполяция сплайнами

Последовательная кубическая интерполяция

См. также