Пусть есть векторное пространство над полем (чаще всего рассматриваются поля и ).

Билинейной формой называется функция , линейная по каждому из аргументов:

,

,

,

,

здесь и

Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (2,0)).

Связанные определения

• Билинейная форма называется симметричной, если для любых векторов .
• Билинейная форма называется кососимметричной (антисимметричной), если для любых векторов .
• Вектор называется ортогональным подпространству относительно , если для всех . Совокупность векторов , ортогональных подпространству относительно данной билинейной формы , называется ортогональным дополнением подпространства относительно и обозначается .
• Радикалом билинейной формы называется ортогональное дополнение самого пространства относительно , то есть совокупность векторов , для которых при всех .

Свойства

• Множество всех билинейных форм , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
• Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
• При выбранном базисе в любая билинейная форма однозначно определяется матрицей

так что для любых векторов и

то есть

• Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
• Размерность пространства есть .
• Несмотря на то, что матрица билинейной формы зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы . Билинейная форма называется невырожденной, если ее ранг равен .
• Для любого подпространства ортогональное дополнение является подпространством .
• , где — ранг билинейной формы .

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе выражаются через координаты в новом через матрицу , или в матричной записи , то билинейная форма на любых векторах и запишется, как

,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

,

или, в матричной записи:

,

, где — матрица прямого преобразования координат .

См. также

• Квадратичная форма
• Билинейная операция
• Билинейное преобразование

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.