17-10-2023
Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
где — биномиальные коэффициенты, — неотрицательное целое число.
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное рациональное число (возможно, отрицательное). В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).
Содержание |
Докажем это равенство индукцией по n:
База индукции:
Шаг индукции: Пусть утверждение для верно:
Тогда надо доказать утверждение для :
Начнём доказательство:
Извлечём из первой суммы слагаемое при
Извлечём из второй суммы слагаемое при
Теперь сложим преобразованные суммы:
Что и требовалось доказать
Комментарий:
Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора:
где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:
При этом ряд
сходится при .
В частности, при и получается тождество
Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество
которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.
Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:
где — мультиномиальные коэффициенты. Сумма берется по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна n. При использовании полинома Ньютона, считается, что выражения , даже в случае .
Мультиномиальная теорема легко доказывается либо по индукции по m, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.
При , выражая через , получаем бином Ньютона.
Семейство многочленов G называется биномиальным, если оно представляется в виде суммы произведений набора множителей g:
где
Биномиальные многочлены обладают биномиальным разложением:
Группа из одномерных матриц с нулевым элементом заданной на нём операцией ,
где
Единицей группы является , нулём — Обратный элемент
где
Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век).
Исаак Ньютон около 1676 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.
В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.[1]
Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность.
Оригинальный текст (англ.)The Final Problem
At the age of twenty-one he wrote a treatise upon the binomial theorem, which has had a European vogue. On the strength of it he won the mathematical chair at one of our smaller universities, and had, to all appearances, a most brilliant career before him.
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Бином Ньютона.