21-05-2023
Вариация Фреше — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного.
Содержание |
Вариация Фреше определяется как:
где — действительнозначная функция, заданная на -мерном параллелепипеде
— произвольное разбиение параллелепипеда гиперплоскостями такими, что
— шаг разбиения;
() — приращение функции по -ой координате;
— обобщённое приращение функции по первым координатам ();
() произвольным образом.
Если , то говорят, что функция имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на . Класс всех таких функций обозначается через .
При этот класс был введён М. Фреше[1] в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала в пространстве непрерывных на квадрате функций вида . Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде
где , .
Позднее было показано, что для -периодических функций класса () справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье[2]. Так, например, если , , то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции в каждой точке сходятся к числу
где суммирование распространяется на все возможных комбинаций знаков . При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная. Это аналог признака Жордана.
Вариация Фреше.