27-06-2023
Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн.
Содержание |
В общем случае волновое уравнение записывается в виде
где — оператор Лапласа, — неизвестная функция, — время, — пространственная переменная, — фазовая скорость.
В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны и записывается в виде
Разность называется оператором Д’Аламбера (разные источники используют разный знак). Таким образом, волновое уравнение записывается как:
Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение
где — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).
Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).
Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой
или .
При наличии динамической вязкости среды, описываемой выражением
где – элемент силы вязкости; – динамический коэффициент вязкости; – изменение скорости в окрестности исследуемой точки; – элемент поверхности.
Волновое уравнение при распространении волны в объёме имеет вид
где – упругое напряжение; – плотность среды.
На больших расстояниях от источника при малых амплитудах волнового процесса, данное уравнение можно упростить, пренебрегая вторым слагаемым в правой части. При этом уравнение интегрируемо в аналитическом виде [1]
Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны () — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны () — формула Пуассона.
Решение одномерного волнового уравнения
с начальными условиями
имеет вид
| Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Волновое уравнение.