Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается .

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Определения

Интегральное определение

Если вещественная часть комплексного числа положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл

На всю комплексную плоскость функция аналитически продолжается через тождество

Последующие выражения служат альтернативными определениями Гамма-функции.

Определение по Гауссу

Оно верно для всех комплексных , за исключением 0 и отрицательных целых чисел

Определение по Эйлеру

Определение по Вейерштрассу

где — постоянная Эйлера — Маскерони.

Замечания

• Интеграл выше сходится абсолютно, если вещественная часть комплексного числа положительна.
• Применяя интегрирование по частям, можно показать, что тождество

выполняется для подынтегрального выражения.

• А поскольку , для всех натуральных чисел

• является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей полюса в точках

Связанные определения

• Иногда используется альтернативная запись, так называемая пи-функция, зависящая от гамма-функции следующим образом:

  .

• В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным. Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух аргументов:

  .

Свойства

• формула дополнения

  .

• Наиболее известные значения гамма-функции от нецелого аргумента это

• Гамма-функция имеет полюс в для любого натурального и нуля; вычет в этой точке задается так

  .

• Следующее бесконечное произведение для гамма-функции, как показал Вейерштрасс, верно для всех комплексных , не являющихся неположительными целыми:

  ,

где — это константа Эйлера.

• формула, полученная Гауссом:

  .

• Основное, но полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:

  .

• Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и , где часто называют «пси-функцией», или дигамма-функцией.
• Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:

  .

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• K-функция
• G-функция Барнса
• Бета-функция