Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность. Названо в честь Давида Гильберта.

Определение

Гильбертово пространство есть банахово пространство, норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением.

Связанные определения

• Наименьшая из мощностей подмножеств гильбертова пространства , для которых замыкание линейной оболочки совпадает с , называется размерностью пространства .

Свойства

• Характеристическим свойством, выделяющим гильбертовы пространства среди прочих банаховых пространств, является тождество параллелограмма:

  

  • Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством

    

  • Аналогично, если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством

    (поляризационное тождество).

• Любые два гильбертовы пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны. В частности,
  • любые два бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны друг другу и пространству (см. ниже).
• Теорема Рисса — Фреше: для любой ортонормированной системы векторов в гильбертовом пространстве и числовой последовательности , такой что , в существует такой элемент , что и .
• Теорема Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве (теорема Рисса — Фреше): для любого линейного ограниченного функционала на гильбертовом пространстве существует единственный вектор такой, что для любого . При этом норма линейного функционала совпадает с нормой вектора :

  . Теорема также означает, что пространство всех линейных ограниченных функционалов над изоморофно пространству .

• Гильбертовы пространства порождают строго нормированные пространства.

Примеры

• Евклидово пространство.
• Пространство . Его точки суть бесконечные последовательности вещественных чисел , для которых сходится ряд . Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

  .

• Пространство измеримых функций с вещественными значениями на отрезке с интегрируемыми по Лебегу квадратами — т. е. таких, что интеграл

определён и конечен, притом функции, отличающиеся между собой на множестве мере нуль — отождествляются между собой (то есть, формально, есть соответствующее множество классов эквивалентностей). Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

.

Для пространств и над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций, определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя:

;

.

См. также

• Теорема представлений Рисса
• Равенство Парсеваля
• Предгильбертово пространство

Литература

• Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, Перевод с английского И. Д. Новикова и Т. В. Соколовской; под ред. Р. А. Минлоса. — М.: Издательство «Мир», 1970. — 352 с.
• Морен К., Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.

Ссылки