Теорема геометризации утверждает, что замкнутое ориентируемое трёхмерное многообразие, в котором любая вложенная сфера ограничивает шар, разрезается несжимающимися торами на куски, на которых можно задать одну из стандартных геометрий.
Теорема геометризации для трёхмерных многообразий является аналогом теоремы униформизации для поверхностей. Она была предложена в виде гипотезы Уильямом Тёрстоном в 1982, и обобщает другие гипотезы, например, гипотезу Пуанкаре и гипотезу эллиптизации Тёрстона.
Используя поток Риччи, в 2002 году Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и в чаcтности доказать гипотезу Пуанкаре.[1]
Примечания
- http://www.claymath.org/library/monographs/cmim03.pdf «This conjecture was formulated by Henri Poincar´e [58] in 1904 and has remained open until the recent work of Perelman. … Perelman’s arguments rest on a foundation built by Richard Hamilton with his study of the Ricci flow equation for Riemannian metrics.»
Ссылки
- L. Bessieres, G. Besson, M. Boileau, S. Maillot, J. Porti, 'Geometrisation of 3-manifolds', EMS Tracts in Mathematics, volume 13. European Mathematical Society, Zurich, 2010. [1]
- M. Boileau Geometrization of 3-manifolds with symmetries
- F. Bonahon Geometric structures on 3-manifolds Handbook of Geometric Topology (2002) Elsevier.
- Allen Hatcher: Notes on Basic 3-Manifold Topology 2000
- J. Isenberg, M. Jackson, Ricci flow of locally homogeneous geometries on a Riemannian manifold, J. Diff. Geom. 35 (1992) no. 3 723—741.
- G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, 2002
- G. Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds, 2003
- G. Perelman, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, 2003
- Bruce Kleiner and John Lott, Notes on Perelman’s Papers (May 2006) (fills in the details of Perelman’s proof of the geometrization conjecture).
- Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping (June 2006). «A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures: Application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow» (Hamilton-Perelman’s Proof of the Poincaré Conjecture and the Geometrization Conjecture
- Recent progress on the Poincaré conjecture and the classification of 3-manifolds. Bulletin Amer. Math. Soc. 42 (2005) no. 1, 57-78 (expository article explains the eight geometries and geometrization conjecture briefly, and gives an outline of Perelman’s proof of the Poincaré conjecture)
- Ricci Flow and Geometrization of 3-Manifolds. — 2010. — ISBN 978-0-8218-4963-7
- The geometries of 3-manifolds. (errata) Bull. London Math. Soc. 15 (1983), no. 5, 401—487.
- (1982) «Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry». American Mathematical Society. Bulletin. New Series 6 (3): 357–381. 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0. 0002-9904. This gives the original statement of the conjecture.
- William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5 (in depth explanation of the eight geometries and the proof that there are only eight)
- William Thurston. The Geometry and Topology of Three-Manifolds, 1980 Princeton lecture notes on geometric structures on 3-manifolds.