18-10-2023
Граница Синглтона (названная в честь Р. К. Синглтона) устанавливает предел мощности кода с символами из поля длины и минимального расстояния Хэмминга .
Пусть обозначает максимально возможную мощность -ичного кода длины (-ичный код — это код над полем из элементов). Пусть минимальное расстояние Хэмминга между двумя словами кода будет , то есть для любых двух кодовых слов и .
Тогда
Содержание |
В первую очередь заметим, что верхняя граница максимальной мощности любого -ичного кода длины равняется , так как каждый компонент данного кодового слова может принимать одно из разных значений независимо от других компонентов.
Пусть является -ичным кодом. Тогда все слова в кодe отличны друг от друга. Если мы сотрём первые символов каждого слова, тогда все оставшиеся кодовые слова должны оставаться разными, так как расстояние Хэмминга между словами кода по меньшей мере . Следовательно мощность кода после удаления символов осталась прежней.
Длина нового кода
и следовательно максимально возможной мощностью такого кода является
Отсюда следует верхняя граница мощности и для изначального кода:
В случае с линейными кодами можно записать границу Синглтона как
или
Линейные коды, для которых выполняется равенство , называются разделимыми кодами с максимальным расстоянием или кодами МДР. Известными представителями этого семейства кодов являются код Рида — Соломона и коды, образуемые из него.
Граница Синглтона.