Группа Коксетера — группа порождённая отражениями в гранях -мерного многогранника, у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от (то есть равен для некоторого целого ). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера.

Группы Коксетера определяются для многогранников в Евклидовом пространстве, на сфере, а также в пространстве Лобачевского.

Примеры

• Многогранники Коксетера в Евклидовом пространстве размерности :
  • -мерный куб произвольной размерности.
  • -мерный симплекс образованный точками с координатами такими, что .
• Многогранники Коксетера в единичной сфере размерности :
  • правильный -мерный симплекс со стороной .
• Многогранники Коксетера в пространствах Лобачевского:
  • Правильный -многоугольник с углом .
  • Правильный прямоугольный додекаэдр в размерности .
  • Правильный прямоугольный 120-гранник (англ.) в размерности .

Свойства

• Многогранник Коксетера является фундаментальной областью действия группы Коксетера.
  • В частности многогранник Коксетера замощает пространство.
  • В частности, любая евклидова группа Коксетера является примером кристаллографической группы.
• Теоема Винберга.^[1] В пространствах Лобачевского всех достаточно больших размерностей ограниченных многогранников Коксетера не существует.
• Сферические многогранники Коксетера являются симплексами.
• Многогранники Коксетера являются простыми.
• Обозначим через отражения в гранях многогранника и пусть есть двугранный угол между гранями и , положим если грани не образуют двугранного угла в многограннике . Тогда группу Коксетера можно задать следующим образом:

Вариации и обобщения

• Группами Коксетера так же называюся обобщение класса групп описанного выше, определяемое с помощью задания:

где и при .

Литература

1. Гиперболические группы отражений УМН, 40:1(241) (1985), 29–66