Дилогарифм

Действительная и мнимая части функции

Дилогари́фм — специальная функция в математике, которая обозначается и является частным случаем (n=2) полилогарифма . Дилогарифм определяется как

Приведённое определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной z. Для действительных значений z=x у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от 1 до . Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:

Функцию часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь Леонарда Эйлера, который рассмотрел эту функцию в 1768 году^[1]. Иногда дилогарифм называют функцией Спенса (Spence's function), в честь шотландского математика Уильяма Спенса (William Spence, 1777—1815)^[2], который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие и . Название "дилогарифм" было введено Хиллом (C.J. Hill) в 1828 году.

Функциональные соотношения

Для дилогарифма существует ряд полезных функциональных соотношений,

Для действительных ,

Известны также соотношения, содержащие две независимые переменные — например, тождество Хилла:

Частные значения

$\operatorname{Li}_2(0)=0$

$\operatorname{Li}_2(1)= {\textstyle{\frac{1}{6}}} \pi^2$

$\operatorname{Li}_2(-1) = - {\textstyle{\frac{1}{12}}} \pi^2$

$\operatorname{Li}_2({\textstyle{\frac12}})={\textstyle{\frac{1}{12}}}\pi^2 - {\textstyle{\frac12}}\ln^2{2}$

Используя соотношение между функциями от x и 1/x, получаем

$\operatorname{Li}_2(2) = {\textstyle{\frac{1}{4}}} \pi^2 - {\rm i} \pi \ln{2}$

Существует также ряд результатов для аргументов, связанных с золотым сечением ,

а также для дилогарифма мнимого аргумента,

$\operatorname{Li}_2(\pm{\rm i}) = - {\textstyle{\frac{1}{48}}} \pi^2 \pm {\rm i} G$

где G — постоянная Каталана.

Соотношения для частных значений

Функции, связанные с дилогарифмом

Функция Клаузена

Возникает при рассмотрении дилогарифма, аргумент которого находится на единичной окружности в комплексной плоскости,

Таким образом,

$\operatorname{Cl}_2(\theta)=\operatorname{Im}\left[\operatorname{Li}_2\left(e^{{\rm i}\theta}\right)\right] = {\textstyle{\frac{1}{2{\rm i}}}}\left[\operatorname{Li}_2\left(e^{{\rm i}\theta}\right)-\operatorname{Li}_2\left(e^{-{\rm i}\theta}\right)\right]$

Функция Лобачевского

Эта функция используется при вычислении объёмов в гиперболической геометрии, и она связана с функцией Клаузена (а следовательно и с дилогарифмом),

Иногда используется другое определение функции Лобачевского,

Интегральный арктангенс

Возникает при рассмотрении дилогарифма мнимого аргумента,

Таким образом,

$\operatorname{Ti}_2(y)=\operatorname{Im}\left[\operatorname{Li}_2({\rm i}y)\right] = {\textstyle{\frac{1}{2{\rm i}}}}\left[\operatorname{Li}_2({\rm i}y)-\operatorname{Li}_2(-{\rm i}y)\right]$

Функция Лежандра

Эта функция выражается через дилогарифмы как

В частности, .

Примечания

Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals

William Spence — Biography

Ссылки

Leonard Lewin, Dilogarithms and associated functions. — Macdonald, London, 1958. 0105524

Leonard Lewin, Polylogarithms and associated functions. — North Holland, New York, Oxford, 1981.

Don Zagier, The dilogarithm function (PDF)

Weisstein, Eric W. Dilogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Lt304888.ru

Туристические услуги

Рекомендуем