Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, в котором все точки изолированы друг от друга в некотором смысле.
Определения
![\varrho(x,y) = \left\{
\begin{matrix}
1, & x \not=y \\
0, & x = y
\end{matrix}
\right., \quad x,y\in X.](//upload.wikimedia.org/math/2/6/3/2636b696b26ec98081af9e0248614fcd.png)
Тогда называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.
Замечание
Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное - неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.
Примеры
- Пусть где , и — дискретная метрика на . Тогда — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
- Пусть и Очевидно, заданная метрика не дискретна. Однако, она порождает дискретную топологию.
Свойства
- Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда множество, содержащее лишь одну любую его точку, открыто.
- Множества, содержащие любую одну точку дискретного топологического пространства, являют собой базу дискретной топологии.
- Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
- Дискретное метрическое пространство ограничено.
- Любые два дискретных топологических пространства, имеющих одинаковую мощность, гомеоморфны.
- Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
- Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.
См. также