Закон Ампера — Максвелла (синоним: обобщенная теорема Ампера о циркуляции) — закон электромагнетизма, исторически завершивший создание замкнутой и непротиворечивой классической электродинамики.

Открыт Максвеллом, обобщившим теорему Ампера о циркуляции магнитного поля на общий случай, включающий переменные несоленоидальные (незамкнутые) токи и меняющиеся во времени поля.

Формулировка этого закона составляет четвёртое уравнение Максвелла:

Это же уравнение в дифференциальной форме:

(здесь в левой части ротор магнитного поля, — оператор набла, — векторное произведение).

Обобщение теоремы Ампера о циркуляции потребовало^[1] ввести в формулу Ампера дополнительный член с током смещения.

Содержание 1 Обоснование 1.1 Элементарное обоснование на частном примере 1.2 Стандартное общее обоснование 1.3 Дополнительные эвристические соображения 1.3.1 Ток смещения в диэлектриках 1.3.2 Симметрия уравнений электродинамики 2 Примечания

Обоснование

Теорема Ампера о циркуляции магнитного поля, сводящаяся к формуле

верная в рамках магнитостатики (и никак не меняющаяся при добавлении электростатики) достаточно хорошо обоснована эмпирически для статических (а также и для медленно меняющихся со временем) полей. Теоретически она прямо связана с законом Био-Савара (аналогом закона Кулона в магнитостатике) и может быть доказана как теорема исходя из него (так же как и обратно закон Био - Савара может быть получен из основных уравнений магнитостатики - формулы Ампера и закона Гаусса для магнитного поля).

Поэтому при поиске варианта этой формулы, верного общем случае меняющихся полей и токов, то есть при поиске аналогичного закона, который работал бы в электродинамике, можно исходить как из хорошо обоснованного постулата, что теорема Ампера верна для постоянных токов и постоянных во времени полей (из чего исторически и исходил Максвелл).

Однако при переходе к общему случаю переменных токов (и меняющихся во времени полей), обнаруживается, что мы не можем пользоваться этой формулой, по крайней мере, не можем пользоваться ею в неизменном виде (а это означает, что формула должна быть как-то исправлена, хотя, по-видимому, общую её структуру хотелось бы сохранить, раз уж она хорошо работает в магнитостатическом случае).

Возникающую проблему (состоящую в том, что формула Ампера становится внутренне противоречивой при попытке использовать её вне магнитостатики) мы опишем несколько по-разному в двух параграфах ниже, так же как и несколько по-разному обоснуем в каждом из них необходимую поправку.

Элементарное обоснование на частном примере

Рассмотрим какую-нибудь электрическую цепь, содержащую конденсатор^[2].

Например, это может быть простой колебательный контур, как на рисунке (конденсатор обозначен на нём как C, а L - катушка индуктивности). (Нас на самом деле будет интересовать только часть цепи вблизи конденсатора, а остальная часть схемы не важна, то есть вместо L может быть просто провод^[3], а может содержать и какое угодно устройство, способное (автоматически или вручную) изменять ток, текущий в конденсатор, например, это может быть электрическая батарея с выключателем. Будем считать для простоты, что зазор между пластинами конденсатора не содержит способной поляризоваться среды, то есть это вакуум (или, скажем, воздух, поляризуемостью которого можно с хорошей точностью пренебречь).

Иными словами, мы здесь можем ограничиться рассмотрением только вот этой части цепи:

Теперь можно приступить к анализу работы формулы Ампера в этом нашем конкретном примере.

1. Непротиворечивость исходной теоремы в нашем примере для случая постоянного тока:

В случае наложенного условия постоянности тока в цепи, оказывается, что ток через конденсатор просто не может течь. Действительно, если ток, втекающий на пластины конденсатора не меняется со временем, то заряд на пластинах растет до бесконечности, что, очевидно, физически бессмысленно, и такой вариант можно смело исключить из рассмотрения^[4]. Таким образом, теорема Ампера в этом случае очевидно работает, так как нет никаких токов и магнитных полей, т.е. левая и правая часть уравнения

просто нулевые^[5].

Однако всё коренным образом меняется, когда мы рассматриваем переменные токи (которые, конечно же, возможны в реальности). Эта формула начинает давать противоречивые результаты, если попытаться её использовать.

2. Противоречие исходной формулы в случае переменного тока:

Действительно, выберем конкретную поверхность интегрирования такой, чтобы она проходила между пластинами конденсатора (то есть на рисунке - почти горизонтальной, чтобы проходить между горизонтальными пластинами, не касаясь их; будем - просто для определенности и удобства - считать, что она почти горизонтальна и за краями пластин конденсатора; можно выбрать её и строго горизонтальной) и выходящей за его края, то есть большей площади, чем пластины. Тогда край этой поверхности , представляющий собой контур для вычисления интеграла (циркуляции B) в левой части, будет некоторой кривой вокруг конденсатора (а если мы выбрали строго горизонтальной, то этот контур будет также лежать в горизонтальной плоскости).

Поверхность нигде не пересекается проводником, через неё нигде не течет ток (j в зазоре конденсатора везде равно нулю, там нет зарядов, способных переносить ток). Значит, правая часть уравнения равна нулю, и, в предположении что само уравнение верно - нулю равна и левая - то есть циркуляция магнитного поля по краю :

Обозначим C этот край поверхности (контур интегрирования в левой части уравнения): .

Однако - не единственная поверхность, имеющая такой край. На контур C можно «натянуть» и другую, не совпадающую с S, поверхность, и даже бесконечно много различных поверхностей (так что край у всех будет совпадать).

Конкретно выберем («натянем» на C) другую поверхность так, чтобы её край совпадал с C, а сама она проходила не через зазор конденсатора, а чуть выше, пересекая провод, подводящий к конденсатору ток (такую поверхность можно получить из несколько выгнув её вверх).

Очевидно, что интеграл в правой части, представляющий собой электрический ток через поверхность не равен нулю:

Получилось противоречие, т.к. в левой части, вследствие

стоит один и тот же контурный интеграл по контуру C, а правые части дают разный результат:

Следовательно, формула Ампера в своем первоначальном виде в случае переменных токов^[6].

3. Нахождение поправки, устраняющей противоречие:

Уже чисто качественно довольно очевидно, что в зазоре конденсатора (там, где проходит поверхность и где j = 0), есть, наверное, единственное, что могло бы заменить собой j, чтобы интеграл по дал тот же результат, что по , и этим самым устранилось противоречие. Это меняющееся электрическое поле.

Более того, сразу видно, что быстрота изменения напряженности электрического поля в конденсаторе пропорциональна току, подходящему к этому конденсатору (а этот ток - и есть интеграл по второй поверхности:

Значит, есть шанс, что проинтегрировав по поверхности мы получим результат, совпадающий с I (может быть, домножив на какой-то коэффициент).

Теперь осталось выяснить, каким должен быть этот коэффициент и убедиться, что все детали вычислений совпадают.

Для этого выразим теперь поле в конденсаторе количественно: (в выбранных нами здесь единицах измерения^[7]).

Если законно пренебречь краевыми эффектами (считая площадь пластин конденсатора очень большой, а расстояние между ними маленьким)^[8], можем пользоваться формулой для напряженности поля, выписанной выше, по всей площади конденсатора (за исключением самых краев, областями вблизи которых мы пренебрегаем), а направление вектора E всюду (за тем же исключением) перпендикулярно пластинам (на рисунке - вертикально). Плотность заряда (в том же приближении) не зависит от положения (постоянна на подавляющей части пластины).

Исходя из всего этого поток

То есть он точно равен I, а значит коэффициент не нужен (он равен единице)^[9].

Итак, имеем для поправочного члена (который мы обосновали для интегрирования по , но который, видимо, должен оставаться таким и для произвольной поверхности интегрирования)

,

а сама формула Ампера после добавки этого поправочного члена приобретает вид:

или

(В нашем примере когда мы интегрируем по - «работает» член - на этой поверхности , а когда по - «работает» член - на этой поверхности превращается в ноль^[10]).

Таким образом, мы нашли поправочный член Максвелла к формуле Ампера и показали, что он устраняет противоречивость формулы в нашем простом примере. На самом деле он устраняет противоречивость формулы не только в этом частном случае, а всегда. Доказательство последнего утверждения содержится в следующем параграфе, оно чуть более формальное.

Стандартное общее обоснование

Здесь мы покажем, что поправка к формуле Ампера необходима и что она может иметь вид, предложенный Максвеллом, а также по возможности проследим, как она может быть точно построена из достаточно естественных и конструктивных соображений.

1. Начнем с утверждения о сохранении заряда.^[11]

Сохранение заряда выражается уравнением непрерывности:

где - плотность тока, - плотность заряда, - дивергенция плотности тока.

2. Проанализируем непротиворечивость формулы Ампера в магнитостатическом случае вот в каком смысле:

В её левой части стоит циркуляция по некоторому контуру, который является краем поверхности интегрирования в правой части. При этом утверждается, что формула верна всегда, то есть для любых поверхностей. Однако две разные поверхности (и вообще сколь угодно много разных поверхностей) могут иметь совпадающий край; иными словами, мы можем натянуть на один и тот же контур две разные поверхности (а если надо, то и больше).

Очевидно, что для двух разных поверхностей, натянутых на один и тот же контур, левая часть уравнения будет одинаковой. В правой же части будет ток (поток j) через две разные поверхности, и если он не окажется одинаковым, то формула Ампера внутренне противоречива уже в магнитостатике. Покажем, что это не так.

В принципе достаточно было бы заметить, что линии тока замкнуты либо уходят на бесконечность. (Это утверждение представляется интуитивно очевидным, если заметить, что токи в магнитостатике по определению постоянны, а заряд сохраняется - и следовательно источников и стоков у плотности тока нет , а значит у линий тока нет начал или концов, и значит все они либо замкнуты, либо уходят на бесконечность). Тогда в любую замкнутую поверхность (или в пару разных поверхностей, натянутых на один и тот же контур, которая и образует вместе одну замкнутую поверхность) входит столько же линий тока, сколько из неё выходит.

Таким образом, в магнитостатике поле j соленоидально.

Сейчас полезно показать это и исходя из уравнения непрерывности.

В магнитостатике поскольку изменение плотности заряда привело бы к изменению порождаемого ею электрического поля, т.е. нарушило бы условие постоянства полей.

Подставив это в уравнение непрерывности, сразу получаем, что для магнитостатики оно имеет вид:

Это и есть условие соленоидальности поля j (так как проинтегрировав дивергенцию j по любому объёму, получим^[12] поток через его поверхность, и он будет равен нулю, так как дивергенция везде ноль.^[13]

3. Теперь заметим, что в случае перехода к общему (электродинамическому) случаю соленоидальность поля j сразу же теряется.

Действительно, теперь, вообще говоря, а следовательно и

Таким образом мы получаем результат, что первоначальная формула Ампера, содержащая в правой части только ток, внутренне противоречива (по причинам, разобранным выше, а именно, если , то найдется объём, интеграл по которому от такой дивергенции не ноль, и следовательно не ноль ток из этой поверхности^[14], а значит можно найти две поверхности, натянутые на один и тот же контур, через которые течет разный ток, а значит, если первоначальная формула Ампера верна, мы получим два разных взаимоисключающих значения циркуляции по одному и тому же контуру, то есть противоречие.

4. Теперь осталось найти исправление, которое устранило бы это противоречие.

Исходя из того, что мы хотим оставить общую структуру формулы Ампера, наиболее естественным путем её исправления было бы попытаться восстановить соленоидальность поля в правой части, а поскольку поле j в общем случае соленоидальность теряет, то естественно было бы посмотреть, какой оно требует поправки для восстановления соленоидальности (после чего формула станет внутренне непротиворечивой и в общем случае).

Заметим также, что эта поправка должна исчезать в случае постоянных во времени полей и постоянных токов.

Поскольку в доказательстве соленоидальности поля j в магнитоствтике и несоленоидальности его в электростатике играет роль уравнение непрерывности, естественным образом возникает мысль попытаться использовать именно его для построения поправки. Ведь в магнитостатическом случае одновременно обращаются в ноль оба его члена - и , и . А для компенсации ненулевого потока, порождаемого первым членом в общем случае, естественно было бы использовать второй член, так как их сумма всегда ноль.

Поищем, как использовать .

Из электростатики мы знаем^[15], что^[16]

Постулируя, что это уравнение верно и в электродинамике, сопоставим его с уравнением непрерывности

Сразу видно, что продифференцировав первое уравнение по времени, мы сразу получим в его правой части интересующий нас член :

Подставив его в уравнение непрерывности, сразу имеем:

и

То есть, поле - соленоидально.

И значит, если добавить в формуле Ампера к j член , эта формула перестает быть внутренне противоречивой (по крайней мере в смысле рассмотренного противоречия исходной формулы Ампера) и приобретает свойства и форму, очень близкие к свойствам и форме исходной формулы Ампера в магнитостатическом случае. А при переходе к случаю магнитостатики поправка пропадает, т.е. выполняется принцип соответствия, и обобщенный закон Ампера - Максвелла в этом частном случае переходит в старую теорему Ампера о циркуляции магнитного поля.

Итак, мы показали, что закон Ампера - Максвелла с введенной таким образом поправкой (и постулированием верности в общем случае закона Гаусса), может служить корректным обобщением формулы Ампера на общий электродинамический случай.

Дополнительные эвристические соображения

Несмотря на то, что с формальной точки зрения для введенного Максвеллом поправочного члена достаточно обоснований, приведенных в статье выше, с исторической точки зрения, вполне вероятно, важными были и дополнительные эвристические соображения, которые могли дать дополнительный толчок мысли в верном направлении при поиске правильного обобщения теоремы Ампера.

Кроме того, часть из этих соображений может иметь и самостоятельное значение в смысле углубления понимания структуры и физического смысла уравнений Максвелла.

Ток смещения в диэлектриках

Одним из главных, вероятно, таких эвристических соображений с исторической точки зрения является наблюдение о токе смещения в диэлектрике.

Дело в том, что в случае, когда речь идет не о вакууме, а о диэлектрической среде, в этой среде имеет место ток смещения (являющийся с фундаментальной точки зрения обычным электрическим током, однако довольно хорошо «спрятанным» от наиболее прямых видов наблюдения), который частично компенсирует рассогласование в формуле Ампера заменяя собой частично ток проводимости в тех областях, где проводника нет. Структура же тока смещения в диэлектрике в смысле его формулы, содержащая быстроту изменения электрического поля со временем, практически совпадает с той, которая и дает нужную поправку. Учитывая, что таким образом ток смещения в диэлектрике дает частичную компенсацию ошибки (рассогласования) в формуле Ампера, недалеко до мысли, что аналогичный член должен компенсировать рассогласование полностью.

Недостающая для полной компенсации рассогласования часть поправочного члена называется (по аналогии с током смещения диэлектрика) - током смещения вакуума.

• Замечание: ток смещения вакуума не является настоящим электрическим током, несмотря на то, что формально очень похож на него тем, как он входит в уравнение Ампера-Максвелла (казалось бы, он имеет практически совпадающее с током смещения диэлектрика выражение и входит в это уравнение совершенно равноправно с током смещения диэлектрика, который в свою очередь настоящим электрическим током является).
  • Если бы ток смещения вакуума был настоящим электрическим током, заряды, им создаваемые, полностью уничтожали бы электрическое поле, порождающее вызывающее этот ток (что и довольно абсурдно, и несомненно не соответствует наблюдаемому).
  • С точки зрения нашего времени, совпадение по виду члена с с током смещения для диэлектриков является скорее случайным, а совпадение термина ток смещения применительно к диэлектрику и вакууму - чисто условным. Тем не менее, аналогия, пусть даже рассматриваемая как чисто формальная, оказалась, как видим, очень продуктивной.

Симметрия уравнений электродинамики

Поправочный член Максвелла делает систему уравнений, описывающих электромагнетизм, более симметричной (практически совершенно симметричной), и, следовательно, более «красивой», а критерий красоты часто рассматривается как один из основных при оценке физической теории.

Более того, исходя из желания сделать систему уравнений более симметричной можно практически угадать вид поправочного члена, по крайней мере, с точностью до знака и, быть может постоянного коэффициента.

Система уравнений Максвелла^[17]:

выглядит несомненно более симметричной^[18], чем она была бы, если бы из четвёртого уравнения был убран поправочный член . При этом вид этого члена в целом можно угадать из этих соображений.

Примечания

1. ↑ Не вполне ясно, какую роль в ходе мыслей Максвелла при написании правильного уравнения сыграло описываемое в данной статье рассуждение, однако логически оно полностью обосновывает сделанное Максвеллом исправление, независимо от того, насколько точной реконструкцией его подхода оно является.
2. ↑ Для большей части рассуждений параграфа можно рассмотреть просто разрыв в цепи, но это тоже вариант конденсатора (на концах провода накапливаются заряды); в конце же параграфа для получения вида поправки простейшим способом лучше всего считать, что мы имеем дело с идеальным плоским конденсатором.
3. ↑ Впрочем, и провод имеет некоторую индуктивность, так что этот случай не отличается от случая с катушкой.
4. ↑ Если такой случай всё же включить формально в класс случаев магнитостатики на том основании, что какое-то конечное время ток может сохраняться постоянным, то окажется, что уже в этом случае теорема Ампера внутренне противоречива и требует исправления (см. в статье дальше). Это и есть одна из причин, по которой такой вариант постоянства тока логично исключить из области магнитостатики.
5. ↑ Мы рассмотрели тут специально только случай, когда вставлен конденсатор. А то, что формула непротиворечива в случае постоянного тока для цепей, не содержащих разрывов (конденсаторов), мы принимаем за известный из магнитостатики факт. В частности, если провести все те рассуждения, которые приведены далее в этом параграфе и которые приводят к противоречию в случае переменных токов в проводе с разрывом (конденсатором), для случая провода без разрыва, где ток одинаков в разных его участках, мы получим не противоречие, а согласованные результаты.
6. ↑ в том числе даже и в том случае, когда ток остается постоянным в течение некоторого промежутка времени - поскольку в нашем рассуждении всё остается таким же и для этого случая
7. ↑ О выбранной в этой статье системе единиц (максимально упрощающей формулы), см. в статье выше. В других системах единиц формула для E будет отличаться постоянным коэффициентом, например в СИ , что, конечно же повлияет и на коэффициент при поправочном члене в окончательном ответе - в зависимости от выбранной системы единиц.
8. ↑ Это нужно только для максимального упрощения вычислений, которая сделает более очевидным их смысл.
9. ↑ Опять же в нашей системе единиц (что не удивительно, т.к. она специально выбиралась такой, чтобы все лишние коэффициенты пропадали)
10. ↑ Т.к. поле в принятом нами приближении целиком сосредоточено в зазоре конденсатора, а вне него пренебоежимо мало.
11. ↑ Исходить из сохранения заряда не требуется для того, чтобы показать внутреннюю противоречивость формулы Ампера вне магнитостатики. Однако сохранение заряда оказывается важным для конструктивного построения поправки Максвелла. В этом смысле можно заметить, что приводимое здесь построение служит иллюстрацией утверждения: если бы заряд не сохранялся, то и электродинамика в целом не могда бы быть такой, как она есть.
12. ↑ По теореме Остроградского - Гаусса
13. ↑ Это рассуждение можно обратить, т.е. показать, что если бы заряд не сохранялся в магнитостатике, т.е. если бы могло отличаться от нуля, не нарушая условий магнитостатической ситуации, то теорема Ампера не была бы верна (формула была бы внутренне противоречива) в магнитостатике (что означает, конечно, что магнитостатика в этом воображаемом случае была бы совсем другой, и даже трудно представить, как она могла бы быть тогда сформулирована в виде теории поля; хотя, конечно, если для магнитостатики ограничиться просто законом Био-Савара и силой Ампера, никакого напряжения воображения не потребовалось бы и чтобы представить магнитостатику с незамкнутыми токами).
14. ↑ Это утверждение и так очевидно, т.к. сводится к тому, что из замкнутой поверхности может вытекать (переменный) ток, или втекать в нее. Однако нам полезно связать это утверждение с уравнением непрерывности прямо ввиду последующего изложения.
15. ↑ См.Теорема Гаусса.
16. ↑ В системе единиц, используемой в этой статье
17. ↑ Здесь записана в системе единиц c=1, подчеркивающей симметричность этой системы; однако и использование других единиц не могло бы полностью ее скрыть.
18. ↑ Еще более явно это для системы уравнений без зарядов: