22-07-2023
Несколько связанных утверждений известны под именем китайской теоремы об остатках. Эта теорема в её арифметической формулировке была описана в трактате китайского математика Сунь Цзы «Сунь Цзы Суань Цзин» ( кит. упр. 孙子算经, пиньинь: sūnzǐ suànjīng), предположительно датируемом третьим веком н.э.
|
Если натуральные числа попарно взаимно просты, то для любых целых таких, что при всех , найдётся число , которое при делении на даёт остаток при всех . Более того, если найдутся два таких числа и , то . |
Применим индукцию по . При утверждение теоремы очевидно. Пусть теорема справедлива при , т. е. существует число , дающее остаток при делении на при . Обозначим
и рассмотрим числа . Покажем, что хотя бы одно из этих чисел даёт остаток при делении на . Допустим это не так. Поскольку количество чисел равно , а возможных остатков при делении этих чисел на может быть не более чем (ведь ни одно число не даёт остаток ), то среди них найдутся два числа, имеющих равные остатки (принцип ящиков Дирихле). Пусть это числа и при , и . Тогда их разность делится на , что невозможно, т. к. и взаимно просто с , ибо числа попарно взаимно просты (по условию). Противоречие.
Таким образом, среди рассматриваемых чисел найдётся число , которое при делении на даёт остаток . В то же время при делении на число даёт остатки соответственно.
Докажем теперь, что . В самом деле , то есть . Так как все взаимно просты, то делится на их произведение. ■
Пусть — коммутативные кольца с единицей, сюръективные гомоморфизмы, обладающие свойством для всех . Тогда гомоморфизм
Если положить и определить гомоморфизмы следующим образом
то мы получим арифметическую версию теоремы.
Также часто встречается следующая эквивалентная формулировка для колец, где имеют форму , являются естественными проекциями на и требуется, чтобы для любых .
Китайская теорема об остатках.