Коммутатором операторов и в алгебре, а также квантовой механике называется оператор . В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные).

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Тождества с коммутатором

• Антикоммутативность: Из этого тождества следует что

В ассоциативной алгебре верны также следующие тождества:

• Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора По этой причине оператор называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор
• Тождество Якоби: Алгебра, удовлетворяющая тождеству Якоби, называется алгеброй Ли. Таким образом, из любой ассоциативной алгебры можно получить алгебру Ли, если определить умножение в новой алгебре как коммутатор элементов старой алгебры.
• Это тождество представляет собой другую запись тождества Якоби.

Коммутатор в квантовой механике

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора физической величины на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам , при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример — операторы импульса (компоненты импульса) и соответствующей координаты (см. соотношение неопределённостей).

Законы сохранения

Собственные значения гамильтониана квантовой системы — это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

и определения полной производной оператора по времени

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение явлется квантовым аналогом тождества

из классической механики, где {,} — скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определённых симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определённых симметриях пространства кладётся в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

 — оператор i-ой компоненты, соответственно, радиус-вектора, импульса и момента импульса;  — дельта Кронекера;  — абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с её координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно z) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли, поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Некоммутирующие величины

Некоммутирующими величинами A и B называются величины, коммутатор которых .

Две физические величины одновременно измеримы тогда и только тогда когда их операторы коммутируют^[1].

Литература

• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720c.
• Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5

См. также

• Теория операторов
• Поле Киллинга

Примечания