Краевая задача — дифференциальное уравнение (система дифференциальных уравнений) с заданными линейными соотношениями между значениями искомых функций на начале и конце интервала интегрирования.

Решение краевой задачи ищется в виде линейной комбинации решений однородных задач Коши, соответствующих заданному уравнению при линейно независимых векторах начальных условий, и решения неоднородной задачи Коши с произвольными начальными условиями.

Пример краевой задачи:

(система неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, заданная на участке )

Граничные условия (общий вид для всех краевых задач):

Где  — матрицы,  — вектор неизвестных,  — -вектор (делающий систему неоднородной),  — -вектор

Общий вид решения:

Удовлетворение граничных условий достигается за счёт подбора коэффициентов . Эти коэффициенты находятся путём решения системы линейных уравнений.

Численные методы решения краевой задачи

• Метод стрельбы
• Метод редукции

См. также

• BNAM - блочные численно-аналитические методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений

Ссылки

Аналитическое решение линейного ОДУ (задача Коши): http://twt.mpei.ac.ru/MAS/Worksheets/Lin_ODE.mcd

Литература

Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X

• А.М. Ахтямов Теория идентификации краевых условий и ее приложения. - М. : Физматлит, 2009.
• А.М. Ахтямов, В.А. Садовничий, Я.Т. Султанаев Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. - М.: Изд-во Московского университета, 2009.