Криптография на решётках — подход к построению алгоритмов асимметричного шифрования с использованием решёток.

Наряду с другими методами постквантовой криптографии, считается перспективным в связи с возможностями квантового компьютера взламывать широко используемые асимметричные системы шифрования, основанные на двух типах задач теории чисел: задачах факторизации целых чисел и задачах дискретного логарифмирования. Сложность взлома алгоритмов построенных на решётках крайне велика, самые лучшие алгоритмы могут решить эту задачу с трудом за экспоненциальное время. По состоянию на середину 2010-х годов неизвестно ни одного квантового алгоритма, способного справиться лучше обычного компьютера.

Предпосылки создания

В 1995 году Питер Шор продемонстрировал полиномиальный алгоритм для взлома криптографических систем с открытым ключом при использовании квантового компьютера, тем самым определив период существования данных систем до возникновения квантовых вычислителей достаточной размерности.

В 1996 году Лов Гровер продемонстрировал общий метод поиска в базе данных позволяющий производить расшифровку симметричных алгоритмов шифрования, эквивалентную двукратному уменьшению ключа шифра.

В 2001 году группа специалистов IBM продемонстрировала выполнение алгоритма факторизации Шора для числа 15. Число было разложено на множители 3 и 5 при помощи квантового компьютера с 7 кубитами, построенного из 18¹⁰ молекул, состоящих из пяти атомов фтора и двух атомов углерода, с записью информации посредством радиосигналов и считыванием методами ядерного магнитного резонанса^[1].

Начиная со второй половины 1990-х годов возникла необходимость поиска криптостойких к квантовым компьютерам задач для постквантовой эпохи шифрования, в качестве одного из подходов было предложено использовать решётки в  — дискретные подгруппы вещественного векторного пространства, линейные оболочки которых совпадают с ним:

Вычислительно сложные задачи

Задача нахождения кратчайшего вектора (SVP, англ. Shortest Vector Problem) — найти в заданном базисе решётки ненулевой вектор по отношению к определённой нормали^[2].

Задача нахождения (приблизительно) идеального кратчайшего вектора (ISVP, англ. (approximate) ideal shortest vector problem) не считается NP-сложной. Однако, нет известных решёток, основанных на методе редукции, значительно более эффективных на идеальных структурах, чем на общих^[3].

Ещё одна задача нахождения (приблизительно) кратчайшего независимого вектора — SIVP^{[уточнить]}, в которой дан базис решётки и требуется найти линейно независимых векторов^[4].

Задача нахождения ближайшего вектора (CVP, англ. Closest Vector Problem) — нахождение вектора в решётке по заданному базису и некоторому вектору, не принадлежащему решётке, при этом максимально схожего по длине с заданным вектором.

LLL-алгоритм

Все эти задачи разрешимы за полиномиальное время с помощью известного LLL-алгоритма изобретенного в 1982 году Арьеном Ленстрой, Хендриком Ленстрой и Ловасом Ласло^[5].

В заданном базисе , с n-мерными целыми координатами, в решётке из , где , LLL-алгоритм находит более короткий (промерно^{[уточнить]}) ортогональный базис за время:

,

где  — это максимальная длина вектора в этом пространстве.

Основные криптографические конструкции и их стойкость

Шифрование

GGH (англ.)русск. — криптосистема основанная на CVP, а именно на односторонней функции с потайным входом опирающуюся на сложность редукции решётки. Была опубликована в 1997 году. Зная базис, можно сгенерировать вектор близкий к заданной точке, но зная это вектор нам необходим исходный базис, чтобы найти исходную точку. Алгоритм был проверен в 1999 году.

Реализация GGH

GGH состоит из открытого и секретного ключа.

Секретный ключ — это базис решётки и унимодулярная матрица .

Открытый ключ — некоторый базис в решётке в виде .

Для некоторого , пространство сообщения состоит из вектора , где .

Шифрование

Задано сообщение , искажение , открытый ключ :

В матричном виде:

.

состоит из целых значений, точка решётки, и v также точка решётки. Тогда шифротекст:

Расшифровка

Для расшифровки необходимо вычислить:

Часть убирается, из соображений приближения. Сообщение:

Пример

Выберем решётку с базисом :

and

где

и

В результате:

Пусть сообщение и вектор ошибки . Тогда шифротекст:

.

Для расшифровки необходимо вычислить:

.

Округление дает , восстановим сообщение:

.

NTRUEncrypt — криптосистема основанная на SVP, является альтернативой RSA и ECC. В вычислении используется кольцо многочленов.

Подпись

Схема подписи GGH впервые предложена 1995 году и опубликована в 1997 году Голдрихом, основана на сложности нахождения ближайшего вектора. Идея заключалась в использовании решёток, для которых «плохой» базис, векторы длинные и почти параллельные, является открытым и «хороший» базис с короткими и почти ортогональными векторами, является закрытым. По их методу, сообщение необходимо хэшировать в пространство, натянутое на решётку, а подпись для данного хэша в этом пространстве является ближайшим узлом решётки. Схема не имела формального доказательства безопасности, и её базовый вариант был взломан в 1999 году Нгуэном (Nguyen). В 2006 году модифицированная версия была снова взломана Нгуэном и Реджевом (Regev).

NTRUSign^[en] — специальная, более эффекитивная версия подписи GGH, отличающаяся меньшим ключом и размером подписи. Она использует только решётки подмножества множества всех решёток, связанных с некоторыми полиномиальными кольцами. NTRUSign была предложена на рассмотрение в качестве стандарта IEEE P1363.1.

Примечания