21-10-2023
Лемма Накаямы — важная техническая лемма в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, следствие правила Крамера. Она имеет множество эквивалентных формулировок. Вот одна из них:
|
Пусть R — коммутативное кольцо с единицей 1, I — идеал в R, а M — конечнопорождённый модуль над кольцом R. Если IM = M, тогда существует a ∈ I такой, что для всякого m ∈ M am = m. |
Следствие 1: Если в условиях леммы идеал I обладает свойством, что для каждого его элемента a элемент 1-a обратим (например, это так, если I — максимальный идеал, а R - локальное кольцо), необходимо должно быть M = 0.
Доказательство леммы. Пусть — образующие модуля M. Так как M = IM, каждый из них представим в виде
Из формулы Крамера для этой системы следует, что при всяком j
Так как представим в виде 1-a, a из I, лемма доказана.
Пусть R — локальное кольцо, — максимальный идеал в R, M — конечнопорождённый R-модуль, и — гомоморфизм факторизации. Лемма Накаямы даёт удобное средство для перехода от модуля M над локальным кольцом R к фактормодулю , которое есть конечномерное векторное пространство над полем . Следующее утверждение также считается одной из форм леммы Накаямы, применительно к этому случаю:
|
Элементы порождают модуль M тогда и только тогда, когда их образы порождают фактормодуль . |
Доказательство. Пусть S — подмодуль в M, порождённый элементами , Q = M/S — фактормодуль и — гомоморфизм факторизации. Так как порождают фактормодуль , это означает, что для всякого существует , такой что . Тогда . Поскольку сюръективно, это означает, что . По лемме Накаямы (точнее, согласно Следствию 1) Q=0, то есть S=M.
Имеется ещё один вариант леммы Накаямы для модулей над локальными кольцами:
|
Пусть — гомоморфизм конечнопорождённых R-модулей. Он индуцирует гомоморфизм фактормодулей . Эти гомоморфизмы сюръективны или не сюръективны одновременно. |
На основе этой формы леммы Накаямы выводится следующая важная теорема:
|
Всякий (конечнопорождённый) проективный модуль над локальным кольцом свободен. |
Лемма Накаямы.