Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и -мерного объёма в -мерном евклидовом пространстве.
Построение
Множество измеримо по Жордану если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана.
Мера Жордана параллелепипеда в определяется как произведение
Для ограниченного множества определяются:
здесь — параллелепипеды описанного выше вида.
Множество называется измеримым по Жордану (квадрируемым при , кубируемым при ), если . В этом случае мера Жордана равна .
Свойства
- Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.
- Ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль (или, что равносильно, когда его граница имеет меру Лебега нуль).
- В частности, все множества, граница которых состоит из конечного числа гладких кривых и точек, измеримы по Жордану. Тем не менее, существуют множества, ограниченные простой замкнутой кривой Жордана, которые не измеримы по Жордану.
- Внешняя мера Жордана одна и та же для и (замыкания множества ) и равна мере Бореля .
- Измеримые по Жордану множества образуют кольцо, на котором мера Жордана конечная аддитивная функция.
История
Приведённое понятие меры ввели Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.
Пример множества, неизмеримого по Жордану
Рассмотрим меру Жордана , определённую на и пусть — множество точек единичного квадрата. Пусть — множество, состоящее из всех точек множества с рациональными координатами, тогда — не измеримое по Жордану множество, так как , то есть верхняя и нижняя мера Жордана не совпадают.
Литература
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
- Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 2;
- Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
- Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;
См. также
