22-04-2023
В математике, метод бесконечного спуска — это метод доказательства от противного, основанный на том, что множество натуральных чисел вполне упорядочено.
Часто метод бесконечного спуска используется для доказательства того, что у некоторого уравнения нет решений по следующей схеме. Из предположения, что решение существует, вытекает существование другого решения, которое в некотором смысле меньше. Тогда можно построить бесконечную цепочку решений, каждое из которых меньше предыдущего. Это вызывает противоречие с тем что в любом подмножестве множества натуральных чисел есть минимальный элемент, значит предположение о существовании начального решения неверно.
Метод бесконечного спуска был существенно развит Пьером Ферма.
Содержание |
От противного. Предположим, что — рациональное число. Это означает, что его можно записать в следующем виде:
для некоторых натуральных чисел и . Тогда
Это означает, что — чётное число. Пусть и
Подставляем вместо :
Делим на 2 обе части:
значит, — чётное число. Таким образом, исходные числа и можно одновременно разделить на 2 и получить другое представление . С полученными числами можно проделать ту же операцию, и так далее бесконечное число раз. Таким образом строится бесконечно убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно. Значит, не является рациональным числом. Следовательно, иррационален.
Метод бесконечного спуска.