08-07-2023
Метод Эйлера — простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.
Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка:
где функция определена на некоторой области . Решение ищется на интервале . На этом интервале введем узлы:
Приближенное решение в узлах , которое обозначим через , определяется по формуле:
Эти формулы непосредственно обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Погрешность на шаге или локальная погрешность — это разность между численным решением после одного шага вычисления и точным решением в точке . Численное решение задаётся формулой
Точное решение можно разложить в ряд Тейлора:
Локальную ошибку получаем, вычитая из второго равенства первое:
Это справедливо, если имеет непрерывную вторую производную[2]. Другим достаточным условием справедливости этой оценки, из которого вытекает предыдущее и которое обычно может быть легко проверено, является непрерывная дифференцируемость по обоим аргументам[3].
Погрешность в целом, глобальная или накопленная погрешность — это погрешность в последней точке произвольного конечного отрезка интегрирования уравнения. Для вычисления решения в этой точке требуется шагов, где длина отрезка. Поэтому глобальная погрешность метода .
Таким образом, метод Эйлера является методом первого порядка — имеет погрешность на шаге и погрешность в целом [3].
Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит своё применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.
Повысить точность и устойчивость вычисления решения можно с помощью неявного метода Эйлера следующего вида.
Прогноз:
.
Коррекция:
.
Для повышения точности корректирующую итерацию можно повторить, подставляя .
Модифицированный метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо как минимум дважды вычислять . Метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутты (предиктор-корректор).
Другой способ повысить точность метода заключается в использовании не одного, а нескольких вычисленных ранее значений функции:
Это линейный многошаговый метод.
Метод ломаных.