Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, метрика Хаусдорфа превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года. Двумя годами позже, та же метрика описывается в книге Бляшке «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

Определение

Пусть и суть два непустых компактных подмножества метрического пространства . Тогда расстояние по Хаусдорфу, , между и есть минимальное число такое, что замкнутая -окрестность содержит и также замкнутая -окрестность содержит .

Другими словами, если обозначает расстояние между точками и в то

Свойства

Пусть обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства с метрикой Хаусдорфа:

• Топология пространства полностью определяется топологией .
• (Теорема Бляшке) компактно тогда и только тогда, когда компактно .
• полно тогда и только тогда, когда полное.

Вариации и обобщения

• Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
• Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только псевдометрикой и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
• В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть и два компактных подмножества евклидова пространства, тогда определяется как минимум по всем движениям евклидова пространства . Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
• Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

Ссылки

• Бляшке «Круг и шар»
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение». — 2001. — Выпуск 9.
• Хаусдорф «Теория множеств»