Моде́ль Ло́тки — Вольтерра́ (более правильным является произношение Вольте́рры, однако этот вариант мало распространён в русском языке^[1]) — модель межвидовой конкуренции, названная в честь её авторов — (Лотка, 1925; Вольтерра 1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.

Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник-жертва», «паразит-хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами (Одум, 1986)

В математической форме предложенная система имеет следующий вид:

где:

•  — количество жертв
• — количество хищников
•  — время
• , , и  — коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами

Решение системы уравнений

Постановка задачи

Допустим у нас есть закрытый ареал, существа которого не иммигрируют и не эмигрируют. Также допустим, что еды для травоядных животных у нас имеется с избытком. Тогда уравнение изменения количества жертв примет вид:

где:

•  — это коэффициент рождаемости жертв
•  — это величина популяции жертв
•  — это скорость прироста популяции жертв.

Так как хищники стабильным питанием не обеспечены, то они вымирают. Следовательно уравнение для хищников примет вид:

где:

•  — это коэффициент убыли хищников
•  — это величина популяции хищников
•  — это скорость прироста популяции хищников.

Встречи хищников и жертв(которые ), убивают жертв с коэффициентом и рождают новых хищников с коэффициентом . С учётом этого, получаем систему уравнений:

Решение задачи

Нахождение стационарной позиции системы

Найдем стационарную точку , , вокруг которой происходят колебания. Для стационарной позиции изменение популяции равно нулю. Следовательно:

Из чего следует, что:

Задание отклонения системе

Теперь нам надо ввести в нашу систему колебания и . Из-за малой величины квадратами, кубами и т.д. можно пренебречь. Теперь популяция и будет равняться:

Далее расписываем предыдущее уравнение:

Похожий ответ получаем относительно хищников:

После чего дифференцируем одно уравнение и подставляем в него другое:

— является уравнением гармонического осциллятора с периодом

См. также

• Система «хищник-жертва»
• Моделирование биологических систем
• Закон Клайбера

Ссылки

• Популяционная динамика
• Простейшая модель «хищник-жертва»

Примечания