01-10-2023
Задача о независимом множестве относится к классу NP-полных задач в области теории графов. Эквивалентна задаче о клике.
Содержание |
Множество вершин графа называется независимым, если никакие две вершины этого множества не соединены ребром. Другими словами, индуцированный этим множеством подграф состоит из изолированных вершин. Иногда также говорят, что каждое ребро графа инцидентно не более чем одной вершине из независимого множества. Задача распознавания (англ.) (Проблема разрешимости) выглядит так: существует ли в заданном графе G независимое множество размера k? Соответствующая ей оптимизационная задача, она же задача о независимом множестве, формулируется следующим образом: в заданном графе G требуется найти независимое множество максимального размера.
Иногда эту задачу называют поиском независимого множества максимального размера или максимального (по размеру) независимого множества. Не стоит путать это понятие с максимальным (по включению) независимым множеством, которое определяется как такое независимое множество вершин, что при добавлении к нему еще одной (любой) вершины исходного графа оно перестает быть независимым. Понятно, что таких множеств, вообще говоря, может быть несколько и разных размеров. Максимальное по включению независимое множество отнюдь не всегда является максимальным по размеру. В то же время, каждое независимое множество максимального размера по определению является также и максимальным по включению. Для нахождения (какого-то) максимального по включению независимого множества можно воспользоваться жадным алгоритмом, работающим за полиномиальное время, тогда как задача о независимом множестве максимального размера принадлежит к классу NP-полных задач.
Если данный граф является деревом, то задача о независимом множестве эффективно решается методом динамического программирования.
Структура дерева сама подсказывает решение задачи: Обозначим корнем дерева любую вершину и назовем её . Пусть обозначает размер максимального независимого множества вершин поддерева, корнем которого является вершина . Тогда ответом на задачу будет являться .
Нетрудно видеть, что если мы включаем вершину u в максимальное независимое множество, то его мощность увеличивается на 1, но его детей мы брать не можем (так как они соединены ребром с вершиной u); если же мы не включаем эту вершину, то мощность максимального независимого множества будет равен сумме размеров независимых множеств детей этой вершины. Остается только выбрать максимум из этих двух вариантов, чтобы получить решение задачи:
где grandchild обозначает всякого «внука» вершины, а child обозначает всякого потомка вершины.
Считаем, что в вершине u хранится :
function get_independent_set(Node u) { если I(u) уже посчитано, то возвратить I(u) //мощность множества, которое можно получить, если не брать вершину u children_sum = 0 //мощность множества, которое можно получить, если взять вершину u grandchildren_sum = 0 //цикл по всем детям for i := 1 to child_num do children_sum = children_sum + get_independent_set(children[i]) //цикл по всем внукам for i:= 1 to grandchildren_num grandchildren_sum = grandchildren_sum + get_independent_set(grandchildren[i]) //запоминаем, чтобы не персчитывать ещё раз I(u) = max(1 + grandchildren_sum, children_sum) возвратить I(u) }
Вызов get_independent_set(r) даст ответ на задачу. Время выполнения алгоритма, очевидно, O(|V| + |E|).
Независимое множество (теория графов).