07-10-2023
Неустойчивость Рэлея — Тейлора (названа в честь лорда Рэлея и Дж. И. Тейлора) — возникает между двумя контактирующими сплошными средами различной плотности, когда более тяжёлая жидкость толкает более лёгкую. Примером такой неустойчивости может служить неустойчивость капли воды на поверхности масла — вода будет пытаться проникнуть сквозь масло.
Основным параметром, определяющим скорость развития этой нестабильности является число Атвуда.
Содержание |
Задача о неустойчивости Рэлея — Тейлора имеет аналитическое решение в рамках линейной теории устойчивости.
Пусть два протяжённых плоских горизонтальных слоя жидкости расположены в поле тяжести друг над другом, причём более тяжёлая жидкость 1 находится вверху (на иллюстрации - синий цвет), плотности жидкостей . Верхняя и нижняя границы - твёрдые. Для простоты удобно пользоваться моделью невязкой несжимаемой жидкости, тогда система описывается уравнением Эйлера:
В дальнейшем компоненты скорости определяются как . Вполне очевидно, что равновесное решение () удовлетворяет модели, при этом из уравнения Эйлера для давления получается следующее:
Откуда определяется равновесное распределение давления (известный результат для давления столба жидкости):
Внесём в равновесное состояние малые возмущения. Пусть скорость настолько мала, что можно пренебречь нелинейным слагаемым в уравнении Эйлера, а давление имеет вид , где . Тогда получим линейную систему уравнений для малых возмущений (далее штрих у давления опущен):
Граничные условия задаются исходя из соображений равенства z-компонент скорости жидкостей 1 и 2 на границе раздела и наличия поверхностного натяжения. На верхней и нижней границах, т. к. жидкость идеальная, работают условия непротекания. Удобно принять координату границы раздела в равновесии за 0. На ней выполняется кинематическое условие
и динамическое условие
Условие непротекания верхней и нижней границ:
где - величина отклонения границы от невозмущённой, - коэффициент поверхностного натяжения. Полученная задача для возмущений легко решается.
Положим, что возмущения имеют вид:
где - скорость роста (инкремент) возмущения, - компоненты волнового вектора возмущения границы.
Из уравнения Эйлера выражается :
а условие несжимаемости даёт уравнение Лапласа для давления. В итоге, скорость течения из задачи удаётся исключить. Остаётся линейное уравнение:
с граничными условиями:
Решение уравнения Лапласа для давления:
Константы определяются из кинематического условия. Динамическое условие даёт связь между инкрементом и модулем волнового вектора
откуда непосредственно следует выражение для критического волнового числа возмущений (при ):
Если длина волны больше критической, то возмущения границы будут нарастать.
В предельном случае бесконечно глубоких слоёв () наибольшая скорость роста возмущений достигается при волновом числе
В тонких слоях ():
Неустойчивость Рэлея — Тейлора.