26-09-2023
Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек.
Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:
|
Окружность девяти точек обладает ещё целым рядом свойств:
Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.
Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности. Более того, описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2.
(Теорема Фейербаха) Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
Эйлер в 1765 году доказал, что основания высот и середины сторон лежат на одной окружности (отсюда название «окружность шести точек»). Первое полное доказательство общего результата было, по-видимому, опубликовано Карлом Фейербахом в 1821 году (вместе с теоремой, носящей его имя), но есть указания на то, что оно было известно и ранее.
Окружность Эйлера.