Опи́санная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать ) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Свойства

• Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
• Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Для треугольника

• Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

• У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.

• Остроугольный

• Тупоугольный

• Прямоугольный

• 3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.
• Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.
• Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

• Радиус описанной окружности может быть найден по формулам

Где:

 — стороны треугольника,

 — угол, лежащий против стороны ,

 — площадь треугольника.

• Положение центра описанной окружности.

Пусть радиус-векторы вершин треугольника,  — радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

где

• Уравнение описанной окружности.

Пусть координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости,  — координаты центра описанной окружности. Тогда

а уравнение описанной окружности имеет вид

Для точек , лежащих внутри окружности, определитель отрицателен, а для точек вне ее — положителен.

• Теорема о трезубце: Если  — точка пересечения биссектрисы угла с описанной окружностью, а  — центр вписанной окружности то .
• Формула Эйлера: Если  — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны и соответственно, то .

Для четырехугольника

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник необходимо является выпуклым.

Вокруг выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан).

Можно описать окружность вокруг:

• любого прямоугольника (частный случай квадрат)
• любой равнобедренной трапеции

У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме двух произведений длин пар противоположных сторон:^[1]

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|

Для многоугольника

• Если из отрезков составить многоугольник, то его площадь будет максимальна, когда он вписанный.

Примечания