Отношение в теории множеств — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и т. д.

Наглядно теоретико-множественное отношение можно представить в виде таблицы, каждая строка которой содержит конкретные примеры объектов, связанных данным отношением. Пример — телефонный справочник можно рассматривать как отношение, отражающее связь между следующими объектами:

Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность, транзитивность и пр.).

Формальное определение

n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах , называется подмножество прямого произведения этих множеств.

Иногда понятие отношения определяется только для частного случая для отношения R. Тогда факт принадлежности n-ки этому отношению можно записать как:

.

Арность

• Одноместные отношения соответствуют свойствам или атрибутам.
• Двуместные отношения называют бинарными и обычно записывают инфиксной записью: x R y. Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.
• Трёхместные отношения называют тернарными.

Примеры

• Отношение равенства на множестве вещественных чисел — бинарное отношение, обозначаемое символом «=». Ему принадлежат все пары вида , и только они.

• Отношение эквивалентности на произвольном множестве M — бинарное отношение, обычно обозначаемое символом «~». Состоит из пар вида , где x и y принадлежат одному классу эквивалентности, и только из них.

• Отношение делимости на множестве натуральных чисел — бинарное отношение, обычно обозначаемое символом « | ». Состоит из пар вида , где x делит y нацело.

Отношения и предикаты

Отношение также может быть задано предикатом на n-й декартовой степени множества M: n-ка принадлежит отношению тогда и только тогда, когда предикат на ней возвращает значение 1 (или «истинно»). Таким образом, можно дать альтернативное определение отношения: если задано отображение , то отношением называется прообраз единицы в . Такое определение бывает полезно в информатике и математической логике.

Предикаты, которые формируются из отношений, заданных в соответствии с основным определением (когда множества в прямом произведении различны), используются в многосортном исчислении предикатов.^[1]

Операции с отношениями

Система отношений, сформированная на одном и том же прямом произведении множеств, изоморфна алгебре множеств и допускает применение теоретико-множественных операций и проверок включения одного отношения в другое. Элементами множеств в этом случае являются кортежи элементов (n-ки).

Для отношений, у которых это ограничение не выполняется, теоретико-множественные операции не применимы, но возможны такие операции как соединение и композиция, которые используются в алгебре Кодда, алгебре кортежей и реляционной алгебре.

См. также

• Отношение чисел
• Отношение порядка

Примечания