Парадокс Берри — парадокс самореференции, заключенный в фразе «наименьшее целое число, которое нельзя описать менее, чем заданным количеством слов» («англ. the smallest possible integer not definable by a given number of words»). Впервые в печати парадокс рассмотрел Бертран Расселл, приписав его авторство Дж. Дж. Берри (1867–1928)^[1], младшему библиотекарю Бодлианской библиотеки в Оксфорде. Берри нашел частный случай парадокса — «первое неопределяемое порядковое» («англ. the first undefinable ordinal»).

Парадокс

Рассмотрим выражение:

«Наименьшее число, которое нельзя описать менее, чем десятью словами»

Поскольку в этой фразе конечное число слов, существует конечное множество фраз из менее чем десяти слов, и, следовательно, конечное множество чисел, определяемых фразой из десяти слов. Однако множество чисел бесконечно, следовательно, существуют числа, которые нельзя определить фразой из менее чем десяти слов. Из свойства хорошо упорядоченного множества, которым является взятое множество чисел, следует, что если элементу множества соответствует данное свойство, существует и наименьший элемент множества, которому соответствует данное свойство. Таким образом, существует наименьшее число, «не описываемое менее, чем десятью словами». Но именно это число определяется приведённой выше фразой и в ней менее десяти слов, а значит, не может являться искомым наименьшим числом и не может описываться данной фразой. Возникает парадокс: должно существовать число, описываемое данной фразой, но поскольку выражение само себе противоречит, не может существовать числа, им описываемого.

Примечания