Парадокс Смейла — утверждение в дифференциальной топологии, что сферу в трёхмерном пространстве можно вывернуть наизнанку в классе погружений, то есть с возможными самопересечениями, но без перегибов. Другими словами, образ сферы в каждый момент деформации должен оставаться гладким, то есть дифференцируемым.

Парадокс Смейла — это вовсе не логический парадокс, это теорема, только весьма контринтуитивная. Более точно:

Довольно тяжело представить конкретный пример такого семейства погружений, хотя существует множество иллюстраций и фильмов.^[1][2] С другой стороны, гораздо проще доказать, что такое семейство существует, и это как раз сделал Смейл.

История

Этот парадокс был открыт Смейлом в 1958 году. Согласно легенде, когда Смейл попытался опубликовать эту теорему, он получил отзыв, который говорил, что утверждение очевидно неверно, так как в процессе такого «выворачивания» степень отображения Гаусса должна сохраняться. Действительно, степень отображения Гаусса должна сохраняться, в частности это показывает, что окружность нельзя «вывернуть» в плоскости, но степени отображений Гаусса у и у в обе равны 1. Более того, степень любого вложения равна 1.

Вариации и обобщения

• Выворачивание сферы можно осуществить также в классе -гладких изометрических погружений.^[3]

Литература

• Smale, Stephen A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Amer. Math. Soc. 90 1958 281—290.
• Франсис, Дж. Книжка с картинками по топологии, как рисовать математические картинки. Москва:Мир, 1991. Глава 6. Выворачивания сферы наизнанку.

Примечания

1. [1]
2. [2]
3. ↑ Громов, М. Дифференциальные соотношения в частных производных.